# 24 点游戏与求解器 - 在线算 24 点、列出全部解法

> 免费 24 点游戏与 24 点计算器：输入 4 个数（也支持 3–6 个数和自定义目标）列出全部不同解法并自动去重；随机发牌闯关，有计时、提示和计分，附 3 3 8 8 等经典难题。

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- 最后更新: 2026-10-26
- 价格: 免费，无需注册
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24 点是练习四则运算最好玩的游戏：四张牌，用加、减、乘、除和括号把它们算成 24，每张牌必须且只能用一次。「玩 24 点」模式随机发一手保证有解的牌，A、J、Q、K 分别当 1、11、12、13（也可以只用 1–10），点一张牌、点运算符、再点一张牌，两张牌就合成一张新牌，合到最后一张等于 24 就过关；有计时、得分和连对，卡住了可以「提示一步」，它会从你当前的牌面出发告诉你下一步该算什么。难度按解法数量划分：简单的牌有很多种算法，困难的牌只有一种，或者必须经过分数。「求解器」模式输入任意 3–6 个整数和目标数，用精确分数穷举所有算式，并把只是交换加数乘数顺序、改变连加连乘结合方式、或去括号变号得到的等价算式合并成一种，输出时只保留必要的括号；对全部 1820 种 1–13 的四张牌组合验证过，有解的正好是 1362 种。另附 3 3 8 8、1 5 5 5、3 3 7 7、4 4 7 7 等经典难题，可以一键拿去挑战。

## 使用步骤

1. 在「玩 24 点」里选难度，点牌和运算符把四张牌合成 24
2. 卡住时点「提示一步」或「看答案」，用「撤销」退回
3. 在「求解器」里输入任意几个数和目标数，查看全部不同解法

## 功能特点

- 随机发牌保证有解，种子可复现同一套题
- 按解法数量和是否需要分数分难易
- 点牌合成的玩法，适合手机和平板
- 计时、得分、连对与一步提示
- 求解器：3–6 个数、任意目标数、精确分数运算
- 交换律、结合律等价算式自动去重，括号最少
- 经典难题：3 3 8 8、1 5 5 5、3 3 7 7 等

## 常见问题

### 3 3 8 8 怎么算 24？

8 ÷ (3 − 8 ÷ 3) = 24。先算 8 ÷ 3 = 8/3，再算 3 − 8/3 = 1/3，最后 8 ÷ 1/3 = 24。这是最有名的 24 点难题，中间必须经过分数，而且只有这一种算法。1 5 5 5 也类似：5 × (5 − 1 ÷ 5) = 5 × 24/5 = 24。

### 怎样算是“同一种”解法？

只是交换加数或乘数的位置（3 × 8 和 8 × 3）、改变连加连乘的计算顺序（(1 + 2) + 3 和 1 + (2 + 3)）、或者把减去一个括号展开（a − (b − c) 和 a − b + c）的算式，都算同一种；“× 1” 和 “÷ 1”、“+ 0” 和 “− 0” 也视为相同。工具会把每个算式化成标准形式后去重，所以列出的每一条都是本质不同的算法。

### 一共有多少种牌组合能算出 24？

从 1 到 13 中可重复地取 4 个数，不计顺序共有 1820 种组合，其中 1362 种能算出 24（允许分数中间结果）。只用加减乘除整数、不出现分数的话，能解的会少一些。不能解的例子有 1 1 1 1、1 1 1 2、13 13 13 13 等。

### 中间结果可以是负数吗？

默认只做大数减小数，中间结果不出现负数，这样的算式更符合小学生的习惯，而且不会把有解的牌判成无解。如果想看包含负数步骤的写法，可以在求解器里勾选“允许负数中间结果”，目标数是负数时会自动允许。

## 相关工具

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- [质因数分解](https://qilingtools.com/zh/math/prime): 免费在线质因数分解工具：把整数分解成质因数连乘并写成幂的形式，列出全部因数与因数之和，判断一个数是不是质数并给出相邻质数，还能列出任意区间内的质数表。
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- [统计计算](https://qilingtools.com/zh/math/statistics): 免费在线统计计算器：粘贴一组数据即可得到平均数、中位数、众数、极差、四分位数、样本与总体的方差和标准差、标准误、变异系数与异常值，适合作业与实验数据处理。