# 三维函数图像 - 在线画 z=f(x,y) 三维曲面图（可旋转、等高线、导出 PNG）

> 免费在线三维曲面绘图：输入 z = f(x, y) 画出 3D 曲面，拖动旋转、滚轮缩放，支持实体、网格、等高线显示与多曲面叠加，内置马鞍面等预设，可导出高清 PNG。

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- 最后更新: 2026-10-26
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二元函数 z = f(x, y) 的图像是一张曲面，光看公式很难想象它的形状。在这里输入公式，工具会在指定的 x、y 范围内取网格采样，画出按高度着色的三维曲面：拖动就能从任意角度观察，切换到等高线模式还能同时看到曲面上的等值线和底面投影。它是二维「函数图像」工具的立体版，适合学习多元微积分、偏导与极值、鞍点，也能用来做课件插图。

## 使用步骤

1. 在「z =」输入框里写公式，如 sin(x)*cos(y) 或 x^2-y^2
2. 设置 x、y 的范围与网格精度（z 范围默认自动）
3. 拖动画布旋转、滚轮或双指缩放，切换实体 / 网格线 / 等高线
4. 需要时添加第二、三个曲面对比，最后导出 PNG

## 功能特点

- 输入写法与二维函数图像一致：隐式乘法、^ 乘方、sin cos exp ln sqrt 等函数
- 鼠标拖动或手指滑动旋转，滚轮 / 双指缩放，俯视、正视、斜视一键切换，可自动旋转
- 实体着色（带光照）、隐藏线消除的网格线、带底面投影的等高线三种模式
- 按高度配色（viridis、plasma 等 5 种色带）并显示色标
- 最多 4 个曲面叠加对比，每个曲面单独显示 / 隐藏
- 自动 z 范围会截掉 1/r 这类尖峰，也可手动指定
- 网格精度 10×10 到 120×120，60×60 时拖动仍然流畅
- 马鞍面、水波 sin(r)/r、旋转抛物面、猴鞍面、高斯钟形、Peaks 等预设
- 导出 2 倍分辨率 PNG；全部在浏览器本地计算

## 常见问题

### 三维函数图像怎么输入公式？

只写等号右边即可，例如 x^2+y^2、sin(x)*cos(y)、exp(-(x^2+y^2))。乘号可以省略（2x、3xy 要写成 3x*y），乘方用 ^，支持 sin、cos、tan、exp、ln、sqrt、abs 等函数和 pi、e 常量，写法与二维函数图像工具相同。

### 为什么曲面中间有缺口？

有两种情况：函数在那些点没有定义（如 sin(r)/r 在原点、ln 的负数部分），或者取值超出了 z 范围。自动 z 范围会把 1/r 这类趋于无穷的尖峰截掉，避免整张图被压扁；想看完整的尖峰，可以手动填更大的 z 范围。

### 马鞍面和猴鞍面有什么区别？

马鞍面 z = x² − y² 在原点沿 x 方向是极小、沿 y 方向是极大，是二元函数鞍点的典型例子；猴鞍面 z = x³ − 3xy² 在原点有三个下降方向（两条腿加一条尾巴），它的二阶导数全为 0，用二阶判别法判断不了。

### 等高线模式能看什么？

等高线是曲面上高度相同的点连成的线，就像地图上的等高线：线越密的地方越陡。工具会在曲面上画出彩色等高线，同时把它们投影到底面，方便判断极值点、鞍点和梯度方向。

## 相关工具

- [函数图像](https://qilingtools.com/zh/math/graph): 免费在线函数绘图工具：输入 sin(x)、x^2、1/x 等公式即可画出函数图像，支持多条曲线叠加、参数方程、极坐标、数据点散点图与最小二乘拟合，可拖动缩放并导出 PNG/SVG。
- [科学计算器](https://qilingtools.com/zh/math/calculator): 免费在线科学计算器：直接输入 2*(3+4)^2、sin(pi/6)、log(8,2) 这样的算式即可得到结果，支持角度/弧度切换、阶乘、组合数与历史记录，浏览器本地计算。
- [方程求解](https://qilingtools.com/zh/math/equation): 免费在线解方程：输入系数即可求一元一次方程、一元二次方程（含判别式、顶点、因式分解、复数根）、一元三次方程与二元一次方程组的解，并给出计算过程。
- [分数计算器](https://qilingtools.com/zh/math/fraction): 免费在线分数计算器：分数加减乘除并自动约分，化简最简分数，分数转小数（识别循环节）、小数转分数（支持 0.1(6) 这类循环小数），带分数一并给出。
- [百分比计算](https://qilingtools.com/zh/math/percentage): 免费在线百分比计算器：求某数的百分之几、一个数是另一个数的百分之几、增长率与下降率、增加/减少百分比后的值，以及已知百分比反推原值，并给出计算公式。
- [质因数分解](https://qilingtools.com/zh/math/prime): 免费在线质因数分解工具：把整数分解成质因数连乘并写成幂的形式，列出全部因数与因数之和，判断一个数是不是质数并给出相邻质数，还能列出任意区间内的质数表。
- [最大公约数](https://qilingtools.com/zh/math/gcd-lcm): 免费在线求最大公约数（GCD）与最小公倍数（LCM）：支持两个或多个整数，给出是否互质、乘积、各数的质因数分解，两个数时还会列出辗转相除法的每一步。
- [统计计算](https://qilingtools.com/zh/math/statistics): 免费在线统计计算器：粘贴一组数据即可得到平均数、中位数、众数、极差、四分位数、样本与总体的方差和标准差、标准误、变异系数与异常值，适合作业与实验数据处理。