# 圆周运动模拟 - 向心力、断绳切线飞出、倾斜弯道、过山车圆环与圆锥摆

> 在线圆周运动模拟：匀速圆周的速度与向心加速度矢量、剪断绳子后沿切线飞出、转动参考系与离心力；有摩擦倾斜弯道的安全速度、竖直圆环最小高度与圆锥摆周期。

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- 最后更新: 2026-10-26
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这个工具把圆周运动最常考、也最容易想错的几个场景做成动画。“匀速圆周”显示速度矢量和指向圆心的加速度矢量，点“剪断绳子”可以看到小球沿切线直线飞出，而不是沿半径向外；切换到随绳转动的参考系，小球静止不动，由离心力与拉力平衡，剪断后的直线轨迹变成一条螺旋，用来理解离心力和科里奥利力。“倾斜弯道”给出有摩擦时的最低、设计和最高安全速度，截面图画出支持力、摩擦力和指向弯心的合力，并有所需摩擦系数随车速的曲线。“竖直圆环”用 RK4 沿轨道积分过山车的运动，可选轨道、绳子或轻杆约束，支持力降为零时小车会脱轨并做抛体运动。“圆锥摆”给出张角、周期、拉力及其与单摆的比较。

## 使用步骤

1. 选择场景：匀速圆周、倾斜弯道、竖直圆环或圆锥摆
2. 设置半径、速度、倾角、摩擦系数、释放高度或绳长等参数，或点击预设
3. 点播放观看动画，必要时剪断绳子、切换转动参考系或拖动时间滑块
4. 读取周期、向心加速度、安全速度、各点支持力（过载）和最小高度等结果

## 功能特点

- 速度与向心加速度矢量动画，剪断绳子后沿切线飞出
- 惯性系 / 转动参考系切换：离心力平衡与断绳后的螺旋轨迹
- 有摩擦倾斜弯道的最低、设计、最高速度和受力分析图
- 所需摩擦系数–车速曲线，含高速匝道、代托纳、自行车馆等预设
- 过山车竖直圆环 RK4 模拟，支持力随角度曲线、脱轨点与抛体轨迹
- 圆锥摆张角、周期、拉力，可按转速反求张角

## 常见问题

### 绳子断了，小球是沿半径方向飞出去吗？

不是。绳断瞬间小球受到的向心力消失，它只保留当时的速度，而速度沿圆的切线方向，所以小球沿切线做匀速直线运动（忽略重力和阻力），离圆心的距离逐渐增大但并不是径向飞出。日常说的“被甩出去”的感觉来自转动参考系中的离心力；在地面（惯性系）里看，并不存在把物体往外推的力，只是不再有力把它往里拉。

### 过山车为什么要从至少 2.5R 的高度出发？

在圆环最高点，小车需要的向心力 mv²/R 由重力和轨道支持力共同提供，支持力不能为负，所以 v² ≥ gR。用能量守恒，从高度 h 由静止滑下到最高点（高 2R）时 v² = 2g(h − 2R)，代入得 h ≥ 2.5R（不计摩擦）。若 R < h < 2.5R，小车会在圆环上半部某处支持力先变为零而脱离轨道，做抛体运动；若 h ≤ R，它根本到不了圆心高度，会滑回来。

### 倾斜弯道上什么速度不需要摩擦力？

当支持力的水平分量正好提供向心力时不需要摩擦，此时 tanθ = v²/(gR)，即设计速度 v = √(gR tanθ)。车速低于它，车有向弯内下滑的趋势，摩擦力沿坡面向上；高于它，车有向外侧滑的趋势，摩擦力沿坡面向下。有了最大静摩擦 μN，安全速度就扩展为一个区间，倾角足够大时最低速度为零，μ > cotθ 时则没有上限。车的质量在这些速度里会约掉。

### 圆锥摆的周期和什么有关？

竖直方向 T cosθ = mg，水平方向 T sinθ = mω²L sinθ，两式相除得 ω² = g/(L cosθ)，周期 T = 2π√(L cosθ/g)。L cosθ 正是悬点到圆周平面的高度 h，所以周期只取决于 h，和质量无关。张角越大，h 越小，转得越快；张角趋于 0 时周期趋近于同长单摆的小角度周期 2π√(L/g)。

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