# 圆锥曲线计算器 - 椭圆、双曲线、抛物线的焦点与离心率在线求解

> 免费在线圆锥曲线工具：输入一般式 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 的系数，自动判定是圆、椭圆、双曲线还是抛物线，并给出标准方程、中心、焦点、离心率与渐近线。

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把曲线方程整理成一般式，填入六个系数，工具会用判别式 B²−4AC 判定类型，再通过配方化成标准方程，把中心、顶点、焦点、离心率、准线、渐近线一次算齐。含 xy 项的倾斜曲线会先旋转坐标轴。

## 使用步骤

1. 把方程移项整理成 Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
2. 依次填入 A～F 六个系数（没有的项填 0）
3. 读取曲线类型、标准方程与各项几何量
4. 点「画出这条曲线」在函数图像里查看形状

## 功能特点

- 判别式 B²−4AC 自动判定圆 / 椭圆 / 双曲线 / 抛物线
- 配方化标准方程，给出中心（或顶点）坐标
- 椭圆：长短半轴、半焦距、顶点、焦点、离心率、准线、通径、面积
- 双曲线：实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程、焦距
- 抛物线：顶点、开口方向、焦点、准线、焦准距、通径
- 含 xy 项时自动求旋转角并在旋转后的坐标系里给出结果
- 退化情况（一个点、空集、两条直线）会明确指出，不会硬套公式

## 常见问题

### 怎么判断是椭圆、双曲线还是抛物线？

看判别式 B²−4AC：小于 0 是椭圆型（A=C 且 B=0 时是圆），等于 0 是抛物线型，大于 0 是双曲线型。工具会把这个值直接列出来。

### 离心率怎么算？

椭圆和双曲线都是 e = c/a，其中 c 是半焦距、a 是长半轴（双曲线是实半轴）。椭圆的 e 在 0 到 1 之间，双曲线大于 1，抛物线恒等于 1。

### 双曲线的渐近线方程怎么写？

中心在 (h, k)、实轴沿 x 方向的双曲线，渐近线是 y − k = ±(b/a)(x − h)。工具会把具体的斜率算出来。

### 方程里有 xy 项怎么办？

说明曲线是倾斜的。工具会先求出旋转角 θ = ½·arctan(B/(A−C))，把坐标轴转过这个角度消掉 xy 项，之后给出的几何量都是在旋转后的坐标系里的。xy = 1 这类等轴双曲线也能正确识别。

### 为什么有时显示「退化为两条直线」？

当方程可以分解成两个一次因式时，图像就不是真正的圆锥曲线而是两条直线（比如 x²−y²=0）。类似地，x²+y²=0 只有原点一个点，x²+y²=−1 则没有实图像。

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