# 矩阵分解计算器 - LU、Cholesky、QR、SVD 分步求解

> 免费在线矩阵分解：部分主元 LU（精确分数）、Cholesky、QR（Gram–Schmidt / Householder）、奇异值分解 SVD，附步骤、秩、条件数、低秩近似与重构验证。

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- 最后更新: 2026-10-26
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线性代数和数值分析课程里的四种核心矩阵分解，都能在这里一步步算出来并验证。LU 分解采用部分主元高斯消元，得到 P·A = L·U：每一列选绝对值最大的主元、记录行交换、列出每个乘数和行变换，并显示每一步之后的 L 和 U；整数、分数和小数输入都按精确分数（BigInt）计算，最后逐项验证 P·A 与 L·U 完全相等，顺带给出行列式。Cholesky 分解先检查矩阵是否对称，再逐列计算 l_jj = √(a_jj − Σ l_jk²)，根号下出现非正数时指出是第几列、从而判定矩阵不是正定的。QR 分解可选修正 Gram–Schmidt（列出每个投影系数 r_ij 和剩余长度）或 Householder 反射（列出每一步的反射向量和新对角元），并报告正交性误差 ‖QᵀQ − I‖。奇异值分解用单边 Jacobi 方法，支持最大 8×8 的任意形状矩阵，给出 U、Σ、Vᵀ、数值秩、条件数、谱范数和 Frobenius 范数；拖动 k 可以看到秩 k 近似 A_k 及其误差（Eckart–Young 定理），还有一个把灰度图片当矩阵做 SVD 压缩的演示，可以上传自己的图片。所有分解都显示乘积重构残差，特征分解链接到站内的特征值工具。矩阵大小 LU/Cholesky/QR 最大 6×6，可从 Excel 直接粘贴。

## 使用步骤

1. 选择分解类型：LU、Cholesky、QR、SVD 或特征分解
2. 设置矩阵大小并填写数字（可粘贴 Excel 数据、分数 3/4 或点「随机」）
3. 查看分解步骤、结果矩阵、秩与条件数等指标，以及重构残差验证

## 功能特点

- 部分主元 LU 分解 P·A = L·U，精确分数逐步展示
- 行列式与奇异矩阵判断
- Cholesky 分解与正定性判定
- QR 分解：修正 Gram–Schmidt 与 Householder
- SVD：U、Σ、Vᵀ，秩、条件数、范数
- 秩 k 低秩近似与误差（Eckart–Young）
- 图片 SVD 压缩演示，可上传图片
- 每种分解都有重构残差验证

## 常见问题

### LU 分解为什么要选主元、引入置换矩阵 P？

不交换行时，只要某一步主元为 0（如 A = [[0,1],[1,0]]）LU 分解就无法进行；主元很小时，乘数会很大，舍入误差被急剧放大。部分主元法每一列都选绝对值最大的元素作主元，所有乘数 |l_ij| ≤ 1，数值稳定。行交换记录在置换矩阵 P 里，所以结果写成 P·A = L·U。

### Cholesky 分解有什么用？

对称正定矩阵（如协方差矩阵、最小二乘的法方程 AᵀA）可以写成 L·Lᵀ，计算量约为 LU 的一半，而且不需要选主元。它也是判断矩阵是否正定的最快方法：分解过程中根号下出现 0 或负数，矩阵就不是正定的。蒙特卡洛模拟里用它来生成相关的随机变量。

### Gram–Schmidt 和 Householder 有什么区别？

两者在精确算术下得到相同的 Q、R（可能相差符号）。Gram–Schmidt 直观，逐列减去投影再单位化，但列接近线性相关时会丢失正交性；Householder 用一系列反射把下三角部分整体清零，正交性误差始终在机器精度量级，是 LAPACK 等数值库的标准做法，并且给出完整的 m×m 正交矩阵 Q。

### 奇异值、秩和条件数是什么关系？

非零奇异值的个数就是矩阵的秩（数值上按容差 max(m,n)·σ₁·ε 判定）。条件数 κ₂ = σ_max / σ_min 衡量解方程时误差被放大的倍数，κ 越大矩阵越「病态」，有零奇异值时为无穷大（奇异矩阵）。只保留前 k 个奇异值得到的 A_k 是所有秩 k 矩阵中离 A 最近的，误差的 2-范数正好是 σ_{k+1}。

## 相关工具

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