# 导数计算器 - 符号求导带步骤，高阶导数、偏导数在线计算

> 免费在线导数计算器：输入函数即得符号导数和逐步过程，按乘积、商、链式、幂法则和对数求导法推导，支持高阶导数、多元函数偏导、指定点求值与数值验证。

- 网址: https://qilingtools.com/zh/math/derivative
- 分类: 数学工具 (https://qilingtools.com/zh/math)
- 标签: [数学](https://qilingtools.com/zh/tags/math), [学习教育](https://qilingtools.com/zh/tags/education)
- 最后更新: 2026-10-26
- 价格: 免费，无需注册
- 隐私: 在浏览器本地处理，文件不上传服务器

这个工具对函数做符号求导，并把每一步用到的求导法则写出来：和差法则、常数倍法则、乘积法则 (uv)′ = u′v + uv′、商法则 (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²、幂法则、链式法则，指数函数 aˣ、对数 ln x 与 logₐx、三角函数、反三角函数、双曲函数的导数公式，以及像 xˣ、x^sin x 这种底数和指数都含 x 的函数用的对数求导法。每一步结果都会自动化简：合并常数、去掉 0 和 1、合并同类项、合并同底数的幂。可以一次求 1～10 阶导数；表达式里有多个变量（如 x²y + sin(xy)）时可以选择对哪个变量求偏导，并列出所有一阶偏导（梯度）。在指定点处，工具会算出函数和各阶导数的值，并用中心差分做数值检验，确认符号结果正确。单变量函数还可以一键在函数图像工具里画出 f 和它的导函数。

## 使用步骤

1. 输入函数，如 x^2*sin(x)、ln(x^2+1)、x^x，或点示例；多元函数直接写 x、y、z
2. 选择阶数，多元函数再选择对哪个变量求偏导
3. 查看结果和逐步推导，在下方输入点的坐标求值，或点“在函数图像中画出”

## 功能特点

- 符号求导并列出每一步所用法则与公式
- 乘积、商、链式、幂法则，指数、对数、三角、反三角、双曲函数
- 对数求导法处理 xˣ、x^sin(x) 等幂指函数
- 自动化简：常数折叠、合并同类项、同底数幂合并
- 1～10 阶导数
- 多元函数偏导数与梯度
- 指定点求值，并用数值差分自动验证
- 一键在函数图像中画出 f 与 f′，结果可复制为纯文本

## 常见问题

### 链式法则怎么用？

复合函数 f(g(x)) 的导数等于外层函数在内层处的导数乘以内层函数的导数：[f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x)。例如 sin(x²) 的导数是 cos(x²)·2x。工具在步骤里会写出“链式法则”，先给出外层导数 cos(u)，再单独求内层 u = x² 的导数。

### xˣ 怎么求导？

底数和指数都含 x 时不能直接套幂法则或指数法则，要用对数求导法：设 y = xˣ，两边取对数 ln y = x·ln x，再对 x 求导 y′/y = ln x + 1，所以 y′ = xˣ(ln x + 1)。工具对所有这类函数都按这个思路处理。

### 为什么结果和课本答案形式不一样？

同一个导数可以有很多等价写法。工具会合并同类项和同底数的幂，但不会通分、提公因式或做三角恒等变换，所以 (x·cos x − sin x)/x² 和 cos x/x − sin x/x² 都可能出现。可以在“在某一点求值”里比较两种写法的数值，相等即说明答案正确。

### 怎么求偏导数和高阶导数？

表达式里有多个字母变量时（e 和 pi 是常数），工具会出现“对谁求导”的选项，其它变量都当作常数，并在下方列出全部一阶偏导组成的梯度。阶数选 2～10 即可连续求高阶导数，每一阶的步骤都可以展开查看。注意 xy 会被理解为 x·y。

## 相关工具

- [函数图像](https://qilingtools.com/zh/math/graph): 免费在线函数绘图工具：输入 sin(x)、x^2、1/x 等公式即可画出函数图像，支持多条曲线叠加、参数方程、极坐标、数据点散点图与最小二乘拟合，可拖动缩放并导出 PNG/SVG。
- [科学计算器](https://qilingtools.com/zh/math/calculator): 免费在线科学计算器：直接输入 2*(3+4)^2、sin(pi/6)、log(8,2) 这样的算式即可得到结果，支持角度/弧度切换、阶乘、组合数与历史记录，浏览器本地计算。
- [方程求解](https://qilingtools.com/zh/math/equation): 免费在线解方程：输入系数即可求一元一次方程、一元二次方程（含判别式、顶点、因式分解、复数根）、一元三次方程与二元一次方程组的解，并给出计算过程。
- [分数计算器](https://qilingtools.com/zh/math/fraction): 免费在线分数计算器：分数加减乘除并自动约分，化简最简分数，分数转小数（识别循环节）、小数转分数（支持 0.1(6) 这类循环小数），带分数一并给出。
- [百分比计算](https://qilingtools.com/zh/math/percentage): 免费在线百分比计算器：求某数的百分之几、一个数是另一个数的百分之几、增长率与下降率、增加/减少百分比后的值，以及已知百分比反推原值，并给出计算公式。
- [质因数分解](https://qilingtools.com/zh/math/prime): 免费在线质因数分解工具：把整数分解成质因数连乘并写成幂的形式，列出全部因数与因数之和，判断一个数是不是质数并给出相邻质数，还能列出任意区间内的质数表。
- [最大公约数](https://qilingtools.com/zh/math/gcd-lcm): 免费在线求最大公约数（GCD）与最小公倍数（LCM）：支持两个或多个整数，给出是否互质、乘积、各数的质因数分解，两个数时还会列出辗转相除法的每一步。
- [统计计算](https://qilingtools.com/zh/math/statistics): 免费在线统计计算器：粘贴一组数据即可得到平均数、中位数、众数、极差、四分位数、样本与总体的方差和标准差、标准误、变异系数与异常值，适合作业与实验数据处理。