# 概率模拟器 - 在线掷硬币、掷骰子、转盘、摸球实验（频率分布与大数定律）

> 免费在线概率实验模拟器：掷硬币、掷骰子、自定义权重转盘、放回/不放回摸球，一次最多百万次试验，实时对比频率直方图与理论概率，并做卡方检验。

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- 最后更新: 2026-10-26
- 价格: 免费，无需注册
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课本上说「试验次数越多，频率越接近概率」，这里可以亲手验证。选择一种随机实验（硬币、骰子、转盘或摸球），设定试验次数后开始模拟：直方图里的柱子是实际频率，红点是精确算出的理论概率，下方曲线显示累计平均值如何随次数增加逐渐稳定到期望值，最后用卡方检验判断观测结果与理论是否一致。只想随机掷一次骰子，用「随机数生成」工具更方便；这里专门做大量重复试验与统计分析。

## 使用步骤

1. 选择实验：掷硬币、掷骰子、转盘或摸球，并设置参数（枚数、骰子个数与面数、扇区权重、球数）
2. 选择试验次数（10～1,000,000）和动画速度，需要复现时填一个随机种子
3. 点「开始模拟」，观察直方图、累计平均曲线的变化，可随时暂停继续
4. 查看样本均值 / 方差与理论值的对比，以及卡方检验的 p 值

## 功能特点

- 四类经典实验：硬币（可设正面概率与枚数）、N 个 d4/d6/d8/d10/d12/d20 骰子点数和、自定义权重转盘、红蓝球摸球（放回 / 不放回）
- 理论分布精确计算：骰子点数和用卷积，硬币与放回摸球用二项分布，不放回摸球用超几何分布
- 频率直方图与理论概率叠加对比，可展开查看每个结果的次数、频率与概率
- 大数定律曲线：累计平均值（转盘为某扇区的频率）随试验次数收敛到期望，次数多时自动用对数横轴
- 卡方拟合优度检验：给出 χ²、自由度与 p 值，期望频数不足 5 的组自动合并
- 慢速动画可看清每一次掷出的结果，立即完成模式一百万次试验不到一秒
- 默认使用浏览器加密随机数；填写随机种子则结果完全可复现，便于课堂演示

## 常见问题

### 什么是大数定律？在这里怎么看出来？

大数定律说的是：独立重复试验的次数越多，事件发生的频率越接近它的概率，样本平均值越接近期望。模拟时看「累计平均值」曲线：刚开始上下剧烈波动，几千次以后就紧贴红色虚线（理论期望）了。

### 两个骰子点数和为什么 7 的概率最大？

两个骰子共有 36 种等可能的结果，点数和为 7 的组合最多：(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) 共 6 种，所以概率是 6/36 = 1/6；而 2 和 12 各只有 1 种组合。骰子越多，点数和的分布越接近正态分布的钟形。

### 卡方检验的 p 值怎么理解？

p 值表示「如果骰子（或硬币）真的是公平的，出现至少这么大偏差的概率」。p ≥ 0.05 一般认为观测结果与理论一致；p < 0.05 说明差异显著。注意即使完全随机，也大约有 5% 的机会得到 p < 0.05。

### 放回和不放回摸球有什么区别？

放回抽样每次摸之前都把球放回，摸到红球的概率始终不变，红球个数服从二项分布；不放回时每摸走一个球，剩下的比例就变了，红球个数服从超几何分布，方差比放回时小。两种设置都可以在这里对比。

## 相关工具

- [函数图像](https://qilingtools.com/zh/math/graph): 免费在线函数绘图工具：输入 sin(x)、x^2、1/x 等公式即可画出函数图像，支持多条曲线叠加、参数方程、极坐标、数据点散点图与最小二乘拟合，可拖动缩放并导出 PNG/SVG。
- [科学计算器](https://qilingtools.com/zh/math/calculator): 免费在线科学计算器：直接输入 2*(3+4)^2、sin(pi/6)、log(8,2) 这样的算式即可得到结果，支持角度/弧度切换、阶乘、组合数与历史记录，浏览器本地计算。
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- [分数计算器](https://qilingtools.com/zh/math/fraction): 免费在线分数计算器：分数加减乘除并自动约分，化简最简分数，分数转小数（识别循环节）、小数转分数（支持 0.1(6) 这类循环小数），带分数一并给出。
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- [质因数分解](https://qilingtools.com/zh/math/prime): 免费在线质因数分解工具：把整数分解成质因数连乘并写成幂的形式，列出全部因数与因数之和，判断一个数是不是质数并给出相邻质数，还能列出任意区间内的质数表。
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- [统计计算](https://qilingtools.com/zh/math/statistics): 免费在线统计计算器：粘贴一组数据即可得到平均数、中位数、众数、极差、四分位数、样本与总体的方差和标准差、标准误、变异系数与异常值，适合作业与实验数据处理。