# 特征值计算器 - 2×2 与 3×3 矩阵的特征值、特征向量在线求解

> 免费在线特征值计算器：输入 2 阶或 3 阶矩阵，得到特征多项式、全部特征值（含复数）、特征向量、迹与行列式，判断可否对角化并附 Av = λv 验算。

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- 最后更新: 2026-10-26
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填入矩阵，立刻得到特征多项式和全部特征值。每个实特征值都会解出对应的特征向量并做 Av = λv 验算，同时给出迹、行列式与可对角化判断。2 阶用求根公式，3 阶用三次方程解法，复特征值也会标出来。

## 使用步骤

1. 选择矩阵阶数（2×2 或 3×3）
2. 填入矩阵各元素
3. 读取特征多项式与特征值
4. 查看每个特征值对应的特征向量与验算结果

## 功能特点

- 特征多项式按 λ² − tr(A)λ + |A| 或 λ³ − tr(A)λ² + Mλ − |A| 写出
- 2 阶用求根公式，3 阶用三角函数法解三次方程，数值稳定
- 复特征值会单独标出（形如 a ± bi）
- 特征向量由 (A − λI)v = 0 的零空间解出，归一化到最大分量为 1
- 每个特征向量附 Av 与 λv 的对照，可直接看出是否相等
- 给出迹、行列式、是否对称、是否可对角化

## 常见问题

### 特征值到底表示什么？

满足 Av = λv 的 λ。也就是说矩阵作用在特征向量上时，只把它拉伸了 λ 倍而没有改变方向，λ 为负表示方向反转，λ 的绝对值就是拉伸倍数。

### 特征向量为什么不唯一？

如果 v 是特征向量，那么任意非零倍数 kv 也满足 A(kv) = λ(kv)。所以特征向量代表的是一个方向，工具把它统一归一化成最大分量为 1 的形式方便对照。

### 特征值可以是复数吗？

可以。比如旋转矩阵 [[0,−1],[1,0]] 的特征值是 ±i，因为平面上的旋转没有任何方向是被单纯拉伸的。工具会把复特征值以 a ± bi 的形式列出。

### 什么样的矩阵可以对角化？

有 n 个线性无关特征向量时就可以。特征值互不相同一定可以；有重根时要看该特征值的特征空间维数够不够。对称矩阵一定可以对角化，而且特征向量相互正交。

### 迹和行列式与特征值有什么关系？

特征值之和等于迹 tr(A)，特征值之积等于行列式 |A|。这两条可以用来快速验算算出来的特征值对不对。

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