# 分形浏览器 - Mandelbrot、Julia 集、L 系统与巴恩斯利蕨

> 在线分形浏览器：Mandelbrot、Julia、燃烧船、Tricorn 与牛顿分形，滚轮无限缩放、多线程渐进渲染、平滑着色；另有 L 系统和 IFS 巴恩斯利蕨，可导出高清 PNG。

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- 最后更新: 2026-10-26
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在浏览器里探索分形之美。逃逸时间分形包括 Mandelbrot 曼德博集、Julia 集、Burning Ship 燃烧船、Tricorn 三角集和 zⁿ − 1 的牛顿分形：用滚轮缩放、拖动平移、双指捏合，双击放大；画面在多个 Web Worker 中按条带并行计算（线程数取决于你的 CPU 核心数），先出低分辨率预览再逐步细化，交互时旧画面会先按新视图变换显示，所以拖动和缩放很跟手。最大迭代次数默认随缩放倍数自动增加，也可以手动设置；使用平滑（连续）着色，六套调色板，色带密度和偏移可调，换色无需重新计算。在 Mandelbrot 上悬停会在角落实时预览该点对应的 Julia 集，单击即可打开；Julia 模式下在小地图上拖动参数 c，图像实时变化。计算使用双精度浮点，大约放大到 10¹³ 倍后会出现块状失真，工具会提示。当前视图会写进网址，复制链接即可分享同一画面；可按 1280×720 到 3840×2160 等分辨率导出 PNG。另外两个标签页：L 系统（科赫雪花、谢尔宾斯基三角形、龙曲线、分形植物、希尔伯特曲线等，可自定义公理、规则和转角）与 IFS 迭代函数系统（巴恩斯利蕨、谢尔宾斯基地毯、枫叶等，用混沌游戏生成数十万个点并按密度着色）。

## 使用步骤

1. 选择分形类型，用滚轮、拖动或双指在图上缩放和平移
2. 调整调色板、色带密度和迭代次数；在 Mandelbrot 上单击打开对应的 Julia 集
3. 复制分享链接或选择分辨率导出 PNG；也可以切换到 L 系统、IFS 标签页

## 功能特点

- Mandelbrot、Julia、燃烧船、Tricorn、牛顿分形 zⁿ − 1
- Web Worker 多线程分块渲染，先预览后细化
- 滚轮 / 拖动 / 双指捏合缩放，双精度深度缩放并提示精度极限
- 平滑着色、六套调色板，迭代次数随缩放自动调整
- Mandelbrot 上实时预览 Julia 集，小地图拖动选择参数 c
- 视图写入网址可分享，高分辨率 PNG 导出
- L 系统：科赫雪花、龙曲线、分形植物等，规则可编辑
- IFS：巴恩斯利蕨、谢尔宾斯基地毯等，按密度着色

## 常见问题

### Mandelbrot 集合是怎么画出来的？

对平面上每个点 c，从 z = 0 开始反复计算 z ← z² + c。如果 |z| 始终不超过 2，这个点就属于 Mandelbrot 集合（画成黑色）；否则记下 |z| 超过界限时迭代了多少次，用这个次数决定颜色。工具使用“平滑迭代次数” n + 1 − log₂(log|z|) 代替整数次数，所以颜色过渡连续、没有明显的色带台阶。

### Mandelbrot 集和 Julia 集有什么关系？

两者用的是同一个迭代 z ← z² + c。Julia 集固定参数 c、让起点 z 遍历平面；Mandelbrot 集固定起点 z = 0、让 c 遍历平面。c 在 Mandelbrot 集内部时对应的 Julia 集是连通的一整块，c 在外面时 Julia 集碎成尘埃，c 靠近边界时最复杂好看。所以 Mandelbrot 集可以看作所有 Julia 集的“目录”，在它上面单击就能打开对应的 Julia 集。

### 为什么放大到一定程度画面会变成马赛克？

浏览器里的 JavaScript 数字是双精度浮点数，大约只有 15～16 位有效数字。放大到约 10¹³～10¹⁴ 倍时，相邻像素对应的坐标差已经小于浮点数能区分的最小间隔，很多像素会算出同一个值，画面就成块了。更深的缩放需要任意精度或微扰理论算法，计算量大得多；工具会在接近极限时给出提示。

### L 系统和 IFS 是什么？

L 系统用字符串重写规则生成分形：比如科赫雪花从 F--F--F 开始，每一代把每个 F 替换成 F+F--F+F，再用“海龟绘图”把 F 解释为向前画线、+ 和 − 解释为转角。IFS（迭代函数系统）由几个仿射变换组成，混沌游戏每次随机选一个变换作用在当前点上，几十万次之后点的分布就是分形本身，巴恩斯利蕨只用四个变换就画出了逼真的蕨叶。

## 相关工具

- [函数图像](https://qilingtools.com/zh/math/graph): 免费在线函数绘图工具：输入 sin(x)、x^2、1/x 等公式即可画出函数图像，支持多条曲线叠加、参数方程、极坐标、数据点散点图与最小二乘拟合，可拖动缩放并导出 PNG/SVG。
- [科学计算器](https://qilingtools.com/zh/math/calculator): 免费在线科学计算器：直接输入 2*(3+4)^2、sin(pi/6)、log(8,2) 这样的算式即可得到结果，支持角度/弧度切换、阶乘、组合数与历史记录，浏览器本地计算。
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- [分数计算器](https://qilingtools.com/zh/math/fraction): 免费在线分数计算器：分数加减乘除并自动约分，化简最简分数，分数转小数（识别循环节）、小数转分数（支持 0.1(6) 这类循环小数），带分数一并给出。
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- [最大公约数](https://qilingtools.com/zh/math/gcd-lcm): 免费在线求最大公约数（GCD）与最小公倍数（LCM）：支持两个或多个整数，给出是否互质、乘积、各数的质因数分解，两个数时还会列出辗转相除法的每一步。
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