# 博弈论计算器 - 纳什均衡、劣势策略剔除与零和博弈求解

> 免费在线博弈论计算器：输入双人收益矩阵，求纯策略与混合策略纳什均衡（精确分数）、严格劣势策略迭代剔除、零和博弈极小极大解、帕累托最优和 2×2 最优反应图。

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- 最后更新: 2026-10-26
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学博弈论、做作业或分析一个策略情境时，把双人标准型博弈的收益矩阵填进来（每方 2～6 个策略，支持整数、小数和分数），工具会一次性给出完整分析。纯策略纳什均衡：在每个格子里用下划线标出双方的最优反应，两个都被划线的格子就是均衡并以绿色高亮。混合策略纳什均衡：用支撑集枚举法，对每一对等大的支撑解无差异方程，全程使用 BigInt 精确分数，给出如 3/5、2/5 这样的准确概率和双方期望收益；非退化博弈能找到全部均衡（个数必为奇数），退化博弈会单独提示。严格劣势策略迭代剔除逐步列出“谁被谁占优”，点击任一步即可在矩阵上看到被划掉的行列，还可以勾选检查被混合策略占优的情况。零和（或常和）博弈额外用精确分数单纯形法求博弈值和双方的最优混合策略，同时给出纯策略 maximin、minimax 与鞍点。另外标出帕累托最优的结果，2×2 博弈画出双方的最优反应曲线，交点即均衡。内置囚徒困境、胆小鬼、性别之战、猜硬币、石头剪刀布、猎鹿博弈等经典例子，也能一键生成随机博弈。

## 使用步骤

1. 选择经典博弈或设置双方的策略数，在矩阵中填写收益（左为行玩家，右为列玩家）
2. 查看高亮的最优反应、纯策略与混合策略纳什均衡及期望收益
3. 需要时查看劣势策略剔除步骤、零和博弈的极小极大解和 2×2 最优反应图

## 功能特点

- 双人标准型博弈，每方 2～6 个策略，支持分数输入
- 纯策略纳什均衡与最优反应下划线高亮
- 混合策略纳什均衡：支撑集枚举，精确分数
- 退化博弈检测与提示
- 严格劣势策略迭代剔除，可检查混合策略占优
- 零和 / 常和博弈：精确单纯形法求博弈值与最优策略、鞍点
- 帕累托最优结果标注
- 2×2 最优反应曲线图与经典博弈预设

## 常见问题

### 什么是纳什均衡？

纳什均衡是一组策略，使得在其他人策略不变的情况下，任何一方单独改变自己的策略都不会得到更高的收益。在收益矩阵里，一个格子是纯策略均衡，当且仅当行玩家的收益是这一列里最大的、列玩家的收益是这一行里最大的——也就是两个数都被划了下划线。囚徒困境里双方都背叛就是唯一的均衡，尽管双方都合作对两人都更好。

### 为什么猜硬币、石头剪刀布没有纯策略均衡？

这些博弈里无论对方出什么，你总有更好的应对，所以任何一个格子都会有人想偏离。纳什证明了有限博弈一定存在混合策略均衡：每个人按一定概率随机选择策略，使对方在自己的几个策略之间无差异。猜硬币里双方各以 1/2 的概率出正反面，石头剪刀布里各以 1/3 出每一种，博弈值都是 0。

### 混合策略均衡是怎么算出来的？

用支撑集枚举：依次假设行玩家只使用某几个策略（支撑），列玩家也使用同样多个策略，然后列方程使对方在支撑内的每个策略期望收益相等、概率之和为 1，再检查概率是否非负、支撑外的策略是否不会更好。所有满足条件的解就是均衡。计算全程使用精确分数，所以结果是 9/10 这样的准确值，而不是近似小数。

### 零和博弈的“博弈值”是什么意思？

在零和博弈中一方的收益就是另一方的损失。冯·诺依曼极小极大定理指出，行玩家能保证的最大期望收益（maximin）等于列玩家能把对方压到的最小期望收益（minimax），这个共同的数就是博弈值，双方对应的混合策略就是最优策略。若矩阵有鞍点（某格既是所在行的最小值又是所在列的最大值），纯策略就够了；否则需要混合策略，工具用线性规划求出它们。

## 相关工具

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