# 积分计算器 - 不定积分分步求解、定积分与求导验证

> 免费在线积分计算器：换元法、分部积分、部分分式、三角函数幂、配方等课本方法分步求不定积分，每个结果都求导回代验证；定积分同时给出牛顿–莱布尼茨与数值结果。

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- 最后更新: 2026-10-26
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输入被积函数，按课本上的方法一步一步求出原函数：先用线性性拆项、提出常数，再依次尝试基本积分表（含一次式换元）、有理函数的多项式除法与部分分式分解（分母按有理根和二次因式分解，支持重因式，二次因式配方后化成 arctan）、三角函数幂（奇次幂分出一个因子换元、偶次幂用半角公式降幂、tan 换元、secⁿ 递推公式）、第一类换元法（自动识别 f(g(x))·g′(x)，常数倍也能认出来）、二次式开方的配方公式（arcsin 与 ln 型），以及按 LIATE 顺序选取 u 的分部积分，能处理 x²eˣ 这样的重复分部和 eˣsin x 这样原积分再次出现、移项求解的循环情形。每一步都写出所用的法则、公式和中间结果。得到原函数后会用符号求导把它求导回去，在多个点上与被积函数做数值比较，确认结果正确。勾选定积分并填写上下限，会同时给出 F(b) − F(a) 和自适应 Gauss–Kronrod 数值积分并比较两者，区间内有间断点时会提示。e^(−x²)、sin(x)/x 这类没有初等原函数的积分会如实说明，并直接给出数值定积分。图上画出被积函数、原函数和定积分对应的面积，也可以一键送进函数图像工具。

## 使用步骤

1. 输入被积函数（如 x^2*e^x、1/(x^2-1)、sin(x)^3），有多个字母时选择积分变量
2. 查看不定积分结果、求导检验和逐步解法
3. 需要定积分时勾选并填写上下限，对比牛顿–莱布尼茨公式与数值积分

## 功能特点

- 换元、分部（含循环）、部分分式、三角幂、配方等课本方法
- 每一步写出法则、公式与中间结果
- 结果自动求导回代，多点数值验证
- 有理函数按有理根与二次因式精确分解
- 定积分：F(b) − F(a) 与 Gauss–Kronrod 数值积分互相校验
- 无初等原函数时如实说明并给出数值结果
- 画出被积函数、原函数与面积，可送进函数图像
- 复制结果或纯文本表达式

## 常见问题

### 为什么我的答案和工具给的形式不一样？

不定积分的结果只差一个常数就都对，而且同一个原函数可以有多种写法，例如 ∫sin x cos x dx 可以写成 sin²x/2，也可以写成 −cos²x/2 或 −cos 2x/4。工具会把结果求导回去和被积函数比较，显示“在 n 个点上 F′(x) 与 f(x) 一致”就说明结果是对的；你也可以把自己的答案和它相减，看差是否为常数。

### 哪些积分做不出来？

e^(−x²)、sin(x)/x、√(1 + x³)、xˣ 这类积分没有初等函数形式的原函数，任何方法都写不出来，工具会提示“没有找到初等函数的分步解法”，并直接给出数值定积分。另外分母是无法分解成有理系数一次、二次因式的高次多项式（如 1/(x⁴ + 1) 需要 √2）时，部分分式这一步也会放弃，同样退回数值积分。

### 定积分的两个结果不一致是怎么回事？

牛顿–莱布尼茨公式 F(b) − F(a) 只在被积函数于 [a, b] 上连续时成立。如果区间里有间断点或奇点（例如 ∫₋₁¹ 1/x² dx），直接代公式会得到错误的有限值，而数值积分会提示不收敛。工具会同时显示两种结果，不一致时提醒你检查间断点，这时应以数值结果和反常积分的判断为准。

### 分部积分时 u 是怎么选的？

按 LIATE 顺序：对数函数 > 反三角函数 > 代数函数（多项式、幂函数） > 三角函数 > 指数函数，排在前面的作 u，其余作 dv。像 ln x、arctan x 单独出现时取 dv = dx。多项式乘指数或三角函数时会重复分部直到多项式降为常数；eˣ 乘三角函数时分部两次后原积分会再次出现，工具会把它移项解出来，并在步骤里写出 I = … − I 这一步。

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