# 马尔可夫链计算器 - 转移矩阵、平稳分布与吸收概率

> 免费马尔可夫链计算器：输入转移矩阵（支持精确分数），画状态转移图，求 n 步转移 Pⁿ、平稳分布、状态分类与周期、吸收链基本矩阵和吸收概率，并模拟随机游走。

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- 最后更新: 2026-10-26
- 价格: 免费，无需注册
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学习随机过程、做概率作业或分析排队、天气、网页跳转这类问题时，把转移矩阵填进来即可（2～10 个状态，可以给状态改名），支持 1/3 这样的分数和 0.25 这样的小数，全程用精确分数计算，所以平稳分布会给出 5/8、5/16 这样的准确结果；每行右侧实时检查行和是否为 1，也可以一键归一化。工具会画出状态转移图（箭头粗细对应概率，颜色区分不同的类，吸收态加双圈），并给出：n 步转移矩阵 Pⁿ 与从任意初始分布出发的 πₙ = π₀Pⁿ（n 不超过 40 时为精确分数，更大时改用浮点），以及分布随步数变化的曲线；平稳分布 π（解 πP = π、Σπ = 1）和平均返回时间 1/πᵢ，多个闭类时分别给出每个类的平稳分布并说明不唯一；状态分类，包括用强连通分量划分的连通类、常返与暂态、吸收态以及每个类的周期，并判断链是否不可约、非周期、遍历。只要存在暂态，就计算吸收分析：基本矩阵 N = (I − Q)⁻¹、期望吸收步数及其方差、进入各个常返类（吸收态）的概率 B = NR。最后可以模拟随机游走，把一条长路径的访问频率或多次游走的终点分布与理论值放在一起对比。

## 使用步骤

1. 选择示例或设置状态数，在矩阵中填写转移概率（每行和为 1）
2. 查看状态转移图、状态分类、平稳分布和 n 步转移结果
3. 对吸收链查看基本矩阵、期望步数与吸收概率，并运行随机游走模拟对照理论

## 功能特点

- 转移矩阵编辑，支持分数与小数，行和实时校验、一键归一化
- 状态转移图：箭头粗细表示概率，按类着色
- n 步转移 Pⁿ 与 π₀Pⁿ，分布演化曲线
- 精确平稳分布与平均返回时间，多闭类时分别求解
- 状态分类：连通类、常返 / 暂态、吸收态、周期
- 吸收链：基本矩阵 N、期望步数与方差、吸收概率 B = NR
- 随机游走模拟，与理论分布对比
- 天气、赌徒破产、PageRank、迷宫老鼠等示例

## 常见问题

### 什么是平稳分布？一定唯一吗？

平稳分布 π 满足 πP = π，也就是按这个分布选起点，走一步之后各状态的概率不变。有限状态马尔可夫链至少有一个平稳分布；如果链只有一个闭类（比如不可约的链），平稳分布就是唯一的。如果有多个闭类（比如两个吸收态），每个闭类各有一个平稳分布，它们的任意加权平均也都是平稳分布，工具会分别列出。

### 为什么有的链 Pⁿ 不收敛？

如果链是周期的，例如状态只能在 A、B 两组之间来回跳，那么 Pⁿ 会在两种形态之间来回振荡，不会收敛。只有不可约且非周期（遍历）的链，Pⁿ 的每一行才会收敛到平稳分布。不过即使有周期，时间平均 (P + P² + … + Pⁿ)/n 仍然收敛到平稳分布，所以长期访问频率依然等于 π。

### 基本矩阵 N 有什么用？

把状态分成暂态和吸收态后，转移矩阵中暂态到暂态的部分记为 Q，基本矩阵 N = (I − Q)⁻¹ 的第 i 行第 j 列表示从暂态 i 出发、被吸收之前平均经过暂态 j 的次数。N 每行求和就是期望吸收步数，N 乘以暂态到吸收态的矩阵 R 就得到最终被每个吸收态吸收的概率。例如公平的赌徒破产问题中，从 1 元出发、赢到 4 元的概率是 1/4，平均要赌 3 局。

### 常返态和暂态怎么区分？

从一个状态出发，如果以概率 1 会再回来，它就是常返态；如果有可能一去不回，就是暂态。对有限状态的链，可以先把能相互到达的状态划成一个类（强连通分量）：没有出边离开的“闭类”中的状态都是常返的，其余类中的状态都是暂态。转到自身的概率为 1 的状态是吸收态，它自己构成一个闭类。

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