# 标准正态分布表 Φ(z) - 附 t 分布、卡方、F 分布临界值表

> 在线标准正态分布表，可切换左尾、右尾、均值到 z、中间面积，点格子看面积图，支持由概率反查 z；附 t、χ²、F 分布临界值表与任意自由度计算。

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- 最后更新: 2026-10-26
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这是一张可以点的统计分布表。标准正态分布表和课本一样，行是 z 的整数位和第一位小数，列是第二位小数，范围 −3.49～3.49；表中数值可以切换为左尾 Φ(z) = P(Z ≤ z)、右尾 P(Z ≥ z)、均值到 z 的面积 P(0 ≤ Z ≤ z) 或中间面积 P(−z ≤ Z ≤ z)，点任意格子会高亮所在行列，并在右侧画出对应的阴影面积图。反查功能输入面积即可得到 z（如 0.975 → 1.96），并定位到表中最接近的格子。t 分布表给出单尾与双尾 α 的临界值（自由度 1～30、40～120 和 ∞），χ² 分布表给出 0.995～0.005 各右尾概率的临界值，F 分布表可选 α = 0.10、0.05、0.025、0.01、0.005，并支持分子、分母自由度为 ∞。表中没有的自由度和 α 可以直接输入计算。所有数值都由不完全 Γ 函数、不完全 B 函数精确计算并求根得到分位数，与常见统计表到小数点后 4 位一致。概率计算器可以算正态（任意 μ、σ）、t、χ²、F 分布的左尾、右尾、区间概率和双侧概率，并画出阴影图。

## 使用步骤

1. 选择标准正态、t、χ² 或 F 分布表，正态表可以切换表中数值的含义
2. 点击任意格子查看临界值和对应的阴影面积图，或输入自由度和 α 计算表外的值
3. 在“概率计算器”里输入区间求概率，或输入概率反查临界值

## 功能特点

- 标准正态分布表 z = −3.49～3.49，四种面积口径可切换
- 点击格子高亮行列并画出阴影面积图
- 由概率反查 z，定位表中最接近的格子
- t 分布临界值表：单尾、双尾 α 同时列出，含 ∞ 自由度
- χ² 分布临界值表：10 个常用右尾概率
- F 分布临界值表：5 种 α，自由度可为 ∞
- 任意自由度与 α 的临界值计算
- 正态/t/χ²/F 概率计算器：左尾、右尾、区间、两尾

## 常见问题

### 标准正态分布表怎么查？

先把 z 拆成两部分：整数位和第一位小数找行，第二位小数找列。例如 z = 1.96，在 1.9 这一行、0.06 这一列，读到 0.9750，即 P(Z ≤ 1.96) = 0.9750。负的 z 可以查负值表，或者用对称性 Φ(−z) = 1 − Φ(z)。如果是一般正态分布 N(μ, σ²)，先标准化 z = (x − μ)/σ 再查表。

### 单尾和双尾 α 的 t 临界值有什么区别？

单尾检验只在一侧设拒绝域，临界值满足 P(T > t) = α；双尾检验把 α 平分到两侧，临界值满足 P(|T| > t) = α，相当于单尾 α/2。所以双尾 α = 0.05 与单尾 α = 0.025 是同一列，例如自由度 10 时都是 2.228。表头上下两行分别标出了单尾和双尾 α。

### χ² 分布表里的 α 是左尾还是右尾？

这里统一用右尾概率：表中数值 c 满足 P(χ² > c) = α。做拟合优度检验、独立性检验时用右尾 α（如 0.05）那一列；求方差的置信区间时，需要用 α/2 和 1 − α/2 两列，比如自由度 10、95% 置信区间用 0.975 列的 3.247 和 0.025 列的 20.483。

### F 分布表里的 df₁ 和 df₂ 分别是什么？

df₁ 是分子的自由度（列），df₂ 是分母的自由度（行）。方差分析中 df₁ = 组数 − 1，df₂ = 总样本量 − 组数；两个方差比较时分别是两样本的 n − 1。表只给右尾临界值，左尾的可以用 F₁₋α(d₁, d₂) = 1 / Fα(d₂, d₁) 换算。

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