# 数论计算器 - 模幂、模逆元、中国剩余定理与欧拉函数在线计算

> 免费在线数论工具：快速幂求 a^b mod m，扩展欧几里得求模逆元与贝祖等式，中国剩余定理解同余方程组，以及欧拉函数 φ(n)、质因数分解与约数和，全部用大整数。

- 网址: https://qilingtools.com/zh/math/number-theory
- 分类: 数学工具 (https://qilingtools.com/zh/math)
- 标签: [数学](https://qilingtools.com/zh/tags/math), [算法](https://qilingtools.com/zh/tags/algorithm)
- 最后更新: 2026-10-26
- 价格: 免费，无需注册
- 隐私: 在浏览器本地处理，文件不上传服务器

四个常用数论计算放在一起：模幂运算（RSA 与哈希里最常见的一步）、模逆元与贝祖等式、中国剩余定理解同余方程组、欧拉函数与约数统计。计算全部用大整数完成，不会出现浮点误差。

## 使用步骤

1. 选择要算的内容：模幂、模逆元、中国剩余定理或欧拉函数
2. 填入整数参数（中国剩余定理按「余数 模数」每行一组）
3. 读取结果，模逆元与同余方程都带验算或通解

## 功能特点

- 快速幂 a^b mod m，指数再大也是 O(log b) 次乘法，并显示实际乘法次数
- 扩展欧几里得给出 gcd 与贝祖等式 ax + my = gcd，逆元附带验算
- 中国剩余定理支持任意组数，模数不互质时自动检查相容性并给出合并结果
- 欧拉函数 φ(n) 连同质因数分解、约数个数 d(n)、约数之和 σ(n) 一并给出
- 全程使用 BigInt 大整数运算，不受 2⁵³ 精度限制

## 常见问题

### 为什么算 7^222 mod 13 这么快？

用的是快速幂（平方-乘法）：把指数写成二进制，从高位到低位反复平方，遇到 1 就乘一次底数。222 只有 8 个二进制位，十几次乘法就算完了，不需要真的乘 222 次。

### 模逆元是什么？什么时候不存在？

满足 a·x ≡ 1 (mod m) 的 x 就是 a 关于模 m 的逆元。只有当 gcd(a, m) = 1（即互质）时才存在，否则工具会直接说明不存在。

### 中国剩余定理能解什么样的题？

「三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二」这类问题：每行写「余数 模数」，工具会给出最小非负解和通解 x = x₀ + Mk。

### 模数不互质还能用吗？

可以。这时解未必存在，工具会逐对检查相容性：余数之差能被 gcd 整除才有解，否则提示方程组无解；有解时按最小公倍数给出合并结果。

### 欧拉函数有什么用？

φ(n) 是小于 n 且与 n 互质的数的个数，是欧拉定理 a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 的基础，也是 RSA 里选取公私钥指数的关键，n 为质数时 φ(n) = n − 1。

## 相关工具

- [函数图像](https://qilingtools.com/zh/math/graph): 免费在线函数绘图工具：输入 sin(x)、x^2、1/x 等公式即可画出函数图像，支持多条曲线叠加、参数方程、极坐标、数据点散点图与最小二乘拟合，可拖动缩放并导出 PNG/SVG。
- [科学计算器](https://qilingtools.com/zh/math/calculator): 免费在线科学计算器：直接输入 2*(3+4)^2、sin(pi/6)、log(8,2) 这样的算式即可得到结果，支持角度/弧度切换、阶乘、组合数与历史记录，浏览器本地计算。
- [方程求解](https://qilingtools.com/zh/math/equation): 免费在线解方程：输入系数即可求一元一次方程、一元二次方程（含判别式、顶点、因式分解、复数根）、一元三次方程与二元一次方程组的解，并给出计算过程。
- [分数计算器](https://qilingtools.com/zh/math/fraction): 免费在线分数计算器：分数加减乘除并自动约分，化简最简分数，分数转小数（识别循环节）、小数转分数（支持 0.1(6) 这类循环小数），带分数一并给出。
- [百分比计算](https://qilingtools.com/zh/math/percentage): 免费在线百分比计算器：求某数的百分之几、一个数是另一个数的百分之几、增长率与下降率、增加/减少百分比后的值，以及已知百分比反推原值，并给出计算公式。
- [质因数分解](https://qilingtools.com/zh/math/prime): 免费在线质因数分解工具：把整数分解成质因数连乘并写成幂的形式，列出全部因数与因数之和，判断一个数是不是质数并给出相邻质数，还能列出任意区间内的质数表。
- [最大公约数](https://qilingtools.com/zh/math/gcd-lcm): 免费在线求最大公约数（GCD）与最小公倍数（LCM）：支持两个或多个整数，给出是否互质、乘积、各数的质因数分解，两个数时还会列出辗转相除法的每一步。
- [统计计算](https://qilingtools.com/zh/math/statistics): 免费在线统计计算器：粘贴一组数据即可得到平均数、中位数、众数、极差、四分位数、样本与总体的方差和标准差、标准误、变异系数与异常值，适合作业与实验数据处理。