# 微分方程求解器 - 斜率场、相图与二阶常系数方程解析解

> 免费在线微分方程工具：一阶方程斜率场点击画解曲线（RK4/RK45）、Euler 与 RK4 误差对比；方程组相图、零倾线与平衡点分类；二阶常系数线性方程分步解析解。

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- 最后更新: 2026-10-26
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三个面板覆盖常微分方程课程的主要内容。一阶方程 y′ = f(x, y)：画出斜率场，在图上任意位置点击就以该点为初值，用自适应 RK45（Dormand–Prince）或固定步长 RK4 向左右两侧画出解曲线；下面的表格用相同步长同时跑 Euler 法和 RK4，并与高精度参考解比较每一步的误差，直观看出一阶方法和四阶方法的差距。平面方程组 x′ = f(x, y)、y′ = g(x, y)：画出方向箭头和两条零倾线，点击任意点画出轨线（正向实线、反向虚线），自动用牛顿法找出视野内的全部平衡点，计算雅可比矩阵和特征值，判断鞍点、稳定/不稳定结点、焦点、中心等类型；内置 Lotka–Volterra 捕食模型、阻尼单摆、范德波尔振子、种群竞争等示例。二阶常系数线性方程 ay″ + by′ + cy = g(x)：写出特征方程、判别式和特征根，按两个不同实根、二重根、共轭复根三种情况给出齐次通解；强迫项可以是多项式、e^(kx)、sin、cos 及其乘积之和，用待定系数法设特解（共振时自动乘 x 或 x²）并求出系数；给定初始条件时解出 C₁、C₂。结果会代回方程检验残差，并与 RK45 数值解对比。

## 使用步骤

1. 选择面板：一阶斜率场、方程组相图或二阶常系数方程
2. 输入方程（如 y′ = x − y，或 a、b、c 与 g(x)），调整视野
3. 在图上点击添加初始点画出解曲线；查看平衡点分类、误差对比表或分步解析解

## 功能特点

- 斜率场 + 点击画解曲线（RK45 / RK4）
- Euler 与 RK4 逐步误差对比表
- 方程组相图：方向箭头、零倾线、轨线
- 平衡点自动查找与线性化分类（特征值）
- 二阶常系数方程：特征方程三种情况
- 待定系数法，自动处理共振
- 初始条件求 C₁、C₂，代回方程验证
- 与 RK45 数值解对比，可送进函数图像

## 常见问题

### RK4 和 RK45 有什么区别？

RK4 是经典四阶龙格–库塔法，每一步用四次斜率估计，步长固定，步长减半误差约变为原来的 1/16。RK45（Dormand–Prince）每步同时算出四阶和五阶两个结果，用两者的差估计误差并自动调整步长：平缓处走大步，变化剧烈处走小步，在同样精度下通常更快更稳。斜率场里画解曲线默认用 RK45，也可以切换成固定步长 RK4 对比。

### 平衡点的类型是怎么判断的？

在平衡点处计算雅可比矩阵 J（各偏导数），根据它的迹 tr J 和行列式 det J 判断：det J < 0 是鞍点；det J > 0 时，判别式 tr² − 4det > 0 为结点、< 0 为焦点（螺旋），tr J < 0 稳定、> 0 不稳定；tr J = 0 且 det J > 0 是中心。注意这是线性化结论，中心和 det J = 0 的退化情形对非线性方程可能不成立，需要进一步分析。

### 待定系数法什么时候要乘 x？

当强迫项 g(x) 中的 e^(λx)（三角函数对应 λ = α ± βi）恰好是特征方程的根时，按 g(x) 的形式设出的特解会是齐次方程的解，代进去等于 0，求不出系数。这叫共振，需要把试探解乘上 xˢ，s 是 λ 作为特征根的重数（1 或 2）。例如 y″ − 2y′ + y = eˣ，1 是二重根，特解要设成 A·x²·eˣ，解得 A = 1/2。

### 二阶方程支持哪些强迫项？

g(x) 可以是若干项之和，每一项是多项式、指数函数 e^(kx) 或 aˣ、sin(kx + φ) 或 cos(kx + φ) 的乘积，例如 3x²、x·e^(−2x)、e^x·cos(2x)、5sin(3x + 1)。同一指数和频率的项会合并处理。像 tan x、1/x、ln x 这样的强迫项不适用待定系数法（需要常数变易法），工具会给出提示；这类方程可以在一阶面板里化成方程组用数值方法求解。

## 相关工具

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- [分数计算器](https://qilingtools.com/zh/math/fraction): 免费在线分数计算器：分数加减乘除并自动约分，化简最简分数，分数转小数（识别循环节）、小数转分数（支持 0.1(6) 这类循环小数），带分数一并给出。
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