# 透镜成像光路图 - 凸透镜、凹透镜、凹面镜、凸面镜与双透镜系统

> 免费在线几何光学模拟：拖动物体和焦点，实时画出凸透镜、凹透镜、凹面镜、凸面镜的三条特征光线，给出像距、放大率、像的虚实与正倒，并支持显微镜、望远镜等双透镜系统。

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在光具座上放一个凸透镜、凹透镜、凹面镜或凸面镜，直接拖动物体箭头和焦点，平行光线、过光心光线、过焦点光线和成像位置会随手更新，实线是真实光线、虚线是反向延长线，虚像一眼就能分辨。下方按“实正虚负”的符号约定把 1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ 和 m = −dᵢ/dₒ 代入数字逐步写出。双透镜模式把第一个透镜的像当作第二个透镜的物，算出复式显微镜、开普勒和伽利略望远镜的中间像、最终像和总放大率。

## 使用步骤

1. 选择预设场景（照相机、投影仪、放大镜、后视镜等）或光学元件类型
2. 拖动蓝色物体箭头改变物距和物高，拖动焦点 F 改变焦距，也可以直接输入数值
3. 观察三条特征光线与像的位置，读取像距、放大率和像的性质
4. 切换到双透镜系统，用显微镜或望远镜预设查看两次成像过程

## 功能特点

- 凸透镜、凹透镜、凹面镜、凸面镜四种元件
- 三条特征光线，虚像用反向延长线表示
- 拖动物体与焦点实时成像，可播放物体移动动画
- 像距、放大率、像高、光焦度与曲率半径
- 双透镜系统：中间像、虚物、总放大率与等效焦距
- 成像公式逐步代入，符号约定清楚标注

## 常见问题

### 凸透镜成像规律怎么记？

以焦距 f 为界：物距大于 2f 时成倒立缩小的实像（照相机）；等于 2f 时成倒立等大的实像；在 f 与 2f 之间成倒立放大的实像（投影仪）；正好在焦点上不成像，出射光平行；小于 f 时成正立放大的虚像，与物在同侧（放大镜）。在工具里点“移动物体”，让物体从远处慢慢移近，就能看到像从焦点附近跑到无穷远、再翻到透镜左边变成虚像的全过程。

### 公式里的正负号是怎么规定的？

这里用中学和大学物理常用的“实正虚负”约定：物距 dₒ 对实物取正；像距 dᵢ 为正表示实像（透镜在另一侧，面镜在镜前），为负表示虚像；会聚透镜和凹面镜 f 为正，发散透镜和凸面镜 f 为负。放大率 m = −dᵢ/dₒ，m 为负表示倒立，|m| > 1 表示放大。有些教材用笛卡儿约定（以光传播方向为正），公式会写成 1/v − 1/u = 1/f，结果的物理含义相同。

### 为什么凹透镜和凸面镜总是成正立缩小的虚像？

发散元件的 f < 0，代入 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ，右边两项都是负数，所以 dᵢ 一定为负，而且 |dᵢ| 比 |f| 和 dₒ 都小，于是 |m| = |dᵢ|/dₒ < 1，像总是正立、缩小、虚的，位于焦点以内。汽车右侧后视镜用凸面镜正是利用这一点：像变小了，视野却更宽，所以镜子上会写“物体比看起来更近”。

### 显微镜和望远镜的放大率怎么算？

两个透镜依次成像：先用物镜成中间像 I₁，再把 I₁ 当作目镜的物，dₒ₂ = d − dᵢ₁（I₁ 落在目镜之后时 dₒ₂ 为负，叫虚物）。总横向放大率 M = m₁·m₂。显微镜的物镜成倒立放大的实像，目镜再当放大镜用，所以总放大倍数可达几十到几百倍。望远镜看的是很远的物体，横向放大率意义不大，常用角放大率 −f₁/f₂ 表示，开普勒望远镜成倒像，伽利略望远镜（目镜为凹透镜）成正像。

### 图中的光线为什么都在透镜中线上拐弯？

这是薄透镜和近轴近似：把透镜厚度和球面的弯曲忽略掉，认为光线在透镜所在的平面处一次性偏折，并且只考虑与光轴夹角很小的光线。在这个近似下成像公式严格成立，所有从物点发出的光线都会聚到同一个像点。真实透镜有厚度、球差和色差，大角度光线并不完全会聚。为了看清光线，图的纵向比例尺比横向放大了，所以光线看起来比实际更陡。

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