# 轨道模拟器 - 开普勒定律、轨道根数、三体问题在线演示

> 在线轨道力学沙盒：拖动初速度看圆、椭圆、抛物线、双曲线轨道，实时算半长轴、偏心率和周期，演示开普勒第二定律，附 N 体模拟与宇宙速度、霍曼转移计算。

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- 最后更新: 2026-10-26
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把卫星放在任意位置、拖动黄色箭头给它一个初速度，就能看到它沿圆、椭圆、抛物线还是双曲线飞行：工具由位置和速度矢量实时算出半长轴、偏心率、近/远拱点和周期，并用等时扇形直观验证开普勒第二定律。积分采用辛蛙跳法并按 √(r³/μ) 自适应加密，能量漂移保持在极小量级；还有 8 字形、蝴蝶、毕达哥拉斯等经典 N 体场景，以及第一/第二宇宙速度、同步轨道和霍曼转移计算器。

## 使用步骤

1. 选择预设（空间站、静止轨道、闪电轨道、月球、哈雷彗星、逃逸速度等）或换一个中心天体
2. 点播放观看运动，拖动箭头末端改变速度、拖动卫星改变位置，或用数值输入高度、速度和航迹角
3. 阅读轨道类型、轨道根数、能量与扇形面积；切到 N 体或计算器标签做更多探索

## 功能特点

- 拖拽设定初始状态，实时预测完整圆锥曲线
- 由状态矢量求 a、e、rₚ、rₐ、T、h、ε 等轨道根数
- 开普勒第二定律等时扇形及面积数值对比
- 辛积分（蛙跳法）+ 自适应子步，显示能量漂移
- 8 字形、蝴蝶、双星、拉格朗日三角、毕达哥拉斯三体等 N 体预设
- 各大行星的圆轨道速度、逃逸速度、周期、同步轨道与霍曼转移 Δv

## 常见问题

### 为什么速度稍微大一点，轨道就从圆变成椭圆了？

在距中心 r 处，只有速度恰好等于 √(μ/r) 且方向垂直于半径时才是圆轨道。速度偏大，卫星在这一点就成了近拱点，飞向更高处形成椭圆；速度达到 √(2μ/r)（逃逸速度，即圆轨道速度的 √2 倍）时比轨道能量为零，轨道变成抛物线；再大就是双曲线，卫星一去不回。偏小则这一点成为远拱点，若近拱点低于天体表面就会坠毁。

### 开普勒第二定律为什么成立？扇形面积是怎么算的？

引力是指向中心的有心力，对中心不产生力矩，所以角动量 h = r × v 守恒，而矢径扫过面积的速率恰好是 dA/dt = h/2，于是相同时间扫过的面积相同。工具把轨迹按周期的 1/12 切成段，用鞋带公式算每个扇形面积，再除以 h·Δt/2，结果应非常接近 1；近拱点处扇形又短又宽，远拱点处又细又长，面积却一样。

### 为什么不用简单的欧拉法？什么是辛积分？

欧拉法每步都会系统性地增加能量，卫星会一圈圈向外螺旋，几十圈后轨道就面目全非。蛙跳法（速度 Verlet）是辛积分：它精确保持相空间体积，能量误差只在很小范围内来回振荡而不累积，长期运行轨道依然闭合。本工具还按 √(r³/μ) 自适应缩小步长，哈雷彗星这类大偏心率轨道在近日点也能算准，界面会显示能量相对漂移。

### 三体问题真的没有解吗？8 字形轨道是怎么回事？

三体问题没有一般的解析解，多数初始条件下运动是混沌的，微小差别会被指数放大，毕达哥拉斯三体（质量 3、4、5 从静止释放）就是典型例子，最终会甩出一颗星。但存在特殊的周期解：拉格朗日等边三角形解、以及 1993 年 Moore 发现、2000 年 Chenciner 与 Montgomery 严格证明的 8 字形轨道，三个等质量天体沿同一条 8 字曲线互相追逐。后来 Šuvakov 等人又找到了蝴蝶等一批新的周期解。

### 同步轨道高度和霍曼转移的 Δv 是怎么算出来的？

令圆轨道周期等于天体自转周期（地球为 23 小时 56 分 4 秒的恒星日），由 T = 2π√(r³/μ) 解出 r = (μT²/4π²)^(1/3)，减去半径就是高度，地球约 35786 km（本工具用平均半径，结果略有差别）。霍曼转移用一个与两圆轨道相切的椭圆：在内圈加速 Δv₁ 进入转移轨道，到远拱点再加速 Δv₂ 圆化，从近地轨道到静止轨道合计约 3.9 km/s，耗时约 5.3 小时。

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