# 单摆与双摆模拟 - 大角度精确周期、相图、能量与混沌

> 在线单摆模拟器：非线性单摆 RK4 精确解与小角近似同步对比，椭圆积分精确周期、阻尼、相图和能量曲线；双摆模式演示混沌，两个几乎相同的双摆迅速分开。

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单摆模式用 RK4 积分完整的非线性方程 θ″ = −(g/L)sinθ − γθ′，旁边同时放一个小角近似摆（sinθ ≈ θ），摆角越大，两者越早错开。工具给出椭圆积分算出的精确周期，并与 2π√(L/g)、级数近似和模拟实测周期对比，配合相图和动能、势能、总能量曲线。双摆模式演示混沌：再加一个初始角只差 0.001° 的双摆，几秒后两者就完全分道扬镳，对数坐标下能看到分离距离近似指数增长。

## 使用步骤

1. 选择单摆或双摆，可先点一个示例
2. 调节摆长、初始角、阻尼、质量和重力，或直接在画布上拖动摆球设定初始角
3. 点「开始」播放，观察摆动、相图和能量曲线
4. 对照结果卡片里的精确周期、小角周期和误差；双摆模式看两个孪生摆何时明显分开

## 功能特点

- 非线性单摆 RK4 数值解与小角近似摆同屏对比
- 椭圆积分精确周期、级数近似与模拟实测周期
- 可调阻尼，能量曲线显示耗散过程
- 相空间 (θ, ω) 轨迹实时绘制
- 双摆混沌：轨迹描绘、孪生摆分离的对数曲线
- 拖动摆球设定初始角，支持触屏

## 常见问题

### 单摆周期公式 T = 2π√(L/g) 什么时候不准？

这个公式来自小角近似 sinθ ≈ θ，只对小摆角成立。精确周期是 T = 4√(L/g)·K(sin(θ₀/2))，K 是第一类完全椭圆积分，摆角越大周期越长：10° 时只长约 0.19%，30° 时约 1.7%，60° 时约 7.3%，90° 时约 18%，接近 180° 时周期趋于无穷。一般教学上把 5° 以内视为「小角」，误差小于 0.05%。

### 相图里的闭合曲线代表什么？

相图把角度 θ 作横轴、角速度 ω 作纵轴，摆的每一时刻就是图上一个点。无阻尼时机械能守恒，点沿一条闭合曲线循环：小角时是椭圆，大角时两端变尖，变成类似柠檬的形状。加上阻尼后能量逐渐耗散，曲线变成向原点收缩的螺旋。双摆的相图则杂乱无章、不会闭合，这正是混沌运动的特征。

### 双摆为什么是混沌的？

双摆有两个自由度，运动方程强烈非线性，能量足够高时运动对初始条件极其敏感：两个初始角只差 0.001° 的双摆，相空间距离大致按 e^(λt) 指数增长，几秒到十几秒后就完全不同。这并不是数值误差造成的——方程本身是确定的，但任何微小差别都会被放大，所以长期行为实际上无法预测。小摆角时双摆近似线性，表现为两个简正模的叠加，不呈现混沌。

### 双摆的简正模是什么？

小角度下双摆可以线性化，存在两种所有部分以同一频率振动的模式。等质量、等摆长时，同相模的角度比为 θ₂/θ₁ = √2，频率较低；反相模为 θ₂/θ₁ = −√2，频率较高。任何小角运动都是这两个模的叠加。点示例里的「同相简正模」「反相简正模」，就能看到两个球步调一致地周期摆动。

### 能量漂移是什么意思？RK4 够准吗？

无阻尼时总能量应严格守恒，数值积分会带来微小误差，工具把当前能量相对初始值的偏差显示为「能量相对漂移」。单摆用 1 ms 步长、双摆用 0.5 ms 步长的 RK4，一般运行一分钟漂移仍在 10⁻⁸ 量级以下，远小于肉眼能分辨的程度。双摆的孪生摆分离来自混沌本身，不是这点数值误差。

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