# 多面体 3D 展示 - 柏拉图与阿基米德立体、展开图打印

> 在线旋转查看 5 种正多面体、13 种阿基米德立体和棱柱/棱锥：截角变形、对偶、欧拉公式验证、面积体积计算，展开动画并可打印带粘合边的展开图（SVG/PDF）。

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- 最后更新: 2026-10-26
- 价格: 免费，无需注册
- 隐私: 在浏览器本地处理，文件不上传服务器

立体几何课上讲的正多面体，用这个工具可以拿在“手里”转着看。内置 5 种柏拉图立体（正四、六、八、十二、二十面体）、全部 13 种阿基米德立体（截角四面体、立方八面体、截角二十面体足球、扭棱立方体、扭棱十二面体等），以及底面边数可调的正棱柱、反棱柱、正棱锥和双棱锥。拖动旋转、滚轮缩放，可切换实体、线框、半透明三种显示，面按边数着色。旁边实时给出顶点数 V、棱数 E、面数 F 和欧拉公式 V − E + F = 2 的验证，面的组成（如 8 个三角形 + 6 个正方形）与顶点构型（如 3.4.3.4）。截角滑块能连续地把立方体削成截角立方体、再削成立方八面体，一键跳到“均匀截角”和“截半”；“对偶”开关用关于棱切球的极倒易把立方体变成正八面体、十二面体变成二十面体、阿基米德立体变成卡塔兰立体。输入棱长 a 即可算表面积、体积和外接球半径，正多面体还给出精确公式。展开功能会自动找一种互不重叠的展开方式，播放从立体摊平成平面的动画；平面展开图可按毫米指定棱长，带粘合边，导出 SVG 或 A4 PDF，打印剪下就能折出纸模型。所有计算在浏览器本地完成。

## 使用步骤

1. 从下拉框选择多面体，棱柱类可调底面边数 n
2. 拖动旋转，切换实体/线框/半透明，调截角滑块或打开对偶
3. 查看 V、E、F 与欧拉公式，输入棱长计算表面积和体积
4. 播放展开动画，或切到平面展开图设置打印棱长，下载 SVG/PDF

## 功能特点

- 5 种柏拉图立体 + 13 种阿基米德立体 + 棱柱/反棱柱/棱锥/双棱锥
- 拖动旋转，实体/线框/半透明三种显示
- V、E、F 计数与欧拉公式验证、面的组成、顶点构型
- 截角连续变形（截角 → 截半）与对偶多面体
- 按棱长计算表面积、体积、外接球半径，正多面体给精确公式
- 自动寻找不重叠的展开图并播放展开动画
- 可打印展开图：毫米级棱长、粘合边，导出 SVG / A4 PDF

## 常见问题

### 为什么正多面体只有 5 种？

正多面体每个顶点至少有 3 个全等正多边形相交，且这些面角之和必须小于 360°，否则无法凸起来。正三角形（60°）可以 3、4、5 个相交，得到正四、八、二十面体；正方形（90°）只能 3 个，得到立方体；正五边形（108°）只能 3 个，得到正十二面体；正六边形 3 个就恰好 360°，铺成平面。所以只有 5 种。

### 欧拉公式 V − E + F = 2 对所有多面体都成立吗？

对所有凸多面体（以及任何与球面同胚、没有洞的多面体）都成立。比如立方体 8 − 12 + 6 = 2，足球（截角二十面体）60 − 90 + 32 = 2。工具里每种立体、截角和对偶后的形状都会实时验证。带洞的多面体（如“相框”形）结果是 0，不再是 2。

### 截角和截半有什么区别？

截角是从每个顶点沿棱削去一小段，原来的顶点变成新的小面：立方体削到新棱和剩余旧棱等长时就是截角立方体（3.8.8）。继续削到每条棱的中点，相邻截口连在一起，旧棱完全消失，这就是截半，立方体截半得到立方八面体（3.4.3.4）。滑块从 0 拖到 0.5 可以连续看到整个过程。

### 打印出来的展开图怎么做成模型？

设置想要的棱长（毫米），下载 PDF 用 A4 纸 100% 原尺寸打印（不要选“适合页面”）。沿实线剪下，沿虚线折出折痕，在灰色粘合边上涂胶，粘到对应的棱背面。较大的阿基米德立体展开图可能超出 A4，PDF 会自动缩小并提示比例，个别粘合边若与其它部分重叠，剪的时候修窄一点即可。

## 相关工具

- [函数图像](https://qilingtools.com/zh/math/graph): 免费在线函数绘图工具：输入 sin(x)、x^2、1/x 等公式即可画出函数图像，支持多条曲线叠加、参数方程、极坐标、数据点散点图与最小二乘拟合，可拖动缩放并导出 PNG/SVG。
- [科学计算器](https://qilingtools.com/zh/math/calculator): 免费在线科学计算器：直接输入 2*(3+4)^2、sin(pi/6)、log(8,2) 这样的算式即可得到结果，支持角度/弧度切换、阶乘、组合数与历史记录，浏览器本地计算。
- [方程求解](https://qilingtools.com/zh/math/equation): 免费在线解方程：输入系数即可求一元一次方程、一元二次方程（含判别式、顶点、因式分解、复数根）、一元三次方程与二元一次方程组的解，并给出计算过程。
- [分数计算器](https://qilingtools.com/zh/math/fraction): 免费在线分数计算器：分数加减乘除并自动约分，化简最简分数，分数转小数（识别循环节）、小数转分数（支持 0.1(6) 这类循环小数），带分数一并给出。
- [百分比计算](https://qilingtools.com/zh/math/percentage): 免费在线百分比计算器：求某数的百分之几、一个数是另一个数的百分之几、增长率与下降率、增加/减少百分比后的值，以及已知百分比反推原值，并给出计算公式。
- [质因数分解](https://qilingtools.com/zh/math/prime): 免费在线质因数分解工具：把整数分解成质因数连乘并写成幂的形式，列出全部因数与因数之和，判断一个数是不是质数并给出相邻质数，还能列出任意区间内的质数表。
- [最大公约数](https://qilingtools.com/zh/math/gcd-lcm): 免费在线求最大公约数（GCD）与最小公倍数（LCM）：支持两个或多个整数，给出是否互质、乘积、各数的质因数分解，两个数时还会列出辗转相除法的每一步。
- [统计计算](https://qilingtools.com/zh/math/statistics): 免费在线统计计算器：粘贴一组数据即可得到平均数、中位数、众数、极差、四分位数、样本与总体的方差和标准差、标准误、变异系数与异常值，适合作业与实验数据处理。