# 抛体运动模拟 - 空气阻力、最佳发射角、轨迹对比动画

> 在线抛体运动模拟器：设置初速度、发射角、高度与重力（地球/月球/火星），可加二次空气阻力，对比多条轨迹，求射程、最大高度与最远射程角。

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- 最后更新: 2026-10-26
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拖动滑块或直接在画布上拖拽瞄准，就能发射一个物体，看它沿轨迹飞行，并实时读出 t、x、y、vₓ、v_y 和速率。打开空气阻力后，按棒球、足球、乒乓球等真实参数（质量、阻力系数、直径、空气密度）用 RK4 积分二次阻力方程，与无阻力的抛物线同框对比，并数值搜索出有阻力时射程最远的发射角。还可以把当前轨迹「保留」在图上，改参数再发射，最多叠加 8 条做对比。

## 使用步骤

1. 设置初速度、发射角和发射高度，选择星球（或自定义 g）
2. 需要时勾选空气阻力，选一种球或输入质量、C_d、直径和空气密度
3. 点「发射」或在画布上按住拖动瞄准、松手发射，观察轨迹与速度矢量
4. 对照结果表里有无阻力的射程、最大高度、飞行时间、落地速度和最佳角，用「保留这条轨迹」叠加比较

## 功能特点

- 理想抛体解析解与二次空气阻力 RK4 数值解并排对比
- 地球、月球、火星、木星重力预设，常见球类阻力参数预设
- 画布拖拽瞄准，松手即发射，支持触屏
- 实时显示位置、速度分量、速率与速度矢量
- 无阻力与有阻力两种情况的最远射程角
- 保留多条轨迹叠加对比，时间轴可拖动逐帧查看

## 常见问题

### 为什么不计空气阻力时 45° 射得最远，有阻力时却更小？

地面发射、无阻力时射程 R = v₀²sin2θ / g，在 θ = 45° 时 sin2θ 取最大值 1。有空气阻力时，物体在空中越久、路程越长，被阻力消耗的速度就越多；高抛的弧线在空中时间长，损失尤其大，所以把角度压低一些反而更划算。阻力越强（轻而大的球、速度越快），最佳角越低，乒乓球、羽毛球可以低到 30° 多甚至更低。若从高处发射，即使没有阻力，最佳角也小于 45°：θ* = arctan(v₀/√(v₀² + 2gh₀))。

### 二次空气阻力是怎么算的？为什么要数值积分？

在常见球类的速度范围内，空气阻力近似与速度平方成正比：F = ½ρC_dAv²，方向与速度相反。写成加速度就是 a = −g ĵ − k|v|v，k = ρC_dA / 2m。由于 |v| 同时含 vₓ 和 v_y，水平和竖直运动耦合在一起，没有初等解析解，所以工具用四阶龙格–库塔法（RK4）按约飞行时间 1/2000 的步长积分，并用二分法把落地时刻精确到 y = 0。

### 终端速度是什么意思？

物体下落时阻力随速度增大，当阻力等于重力 mg 时加速度为零，速度不再增加，这个速度就是终端速度 v_t = √(g/k) = √(2mg / ρC_dA)。它是衡量阻力强弱最直观的量：棒球约 40 m/s，足球约 27 m/s，乒乓球只有 9 m/s 左右。初速度远小于终端速度时阻力影响很小，接近或超过终端速度时轨迹会明显变得「前长后短」、下落段更陡。

### 有阻力时轨迹为什么不对称？

无阻力时水平速度不变，上升和下落关于最高点对称。有阻力时水平速度一路减小，所以最高点之后同样的时间里水平走得更少，下落段比上升段更陡、更短；落地速度也小于初速度，落地角大于发射角。结果表里可以对比落地速度和落地角，看出能量被阻力耗散了多少。

### 在月球上扔东西会怎样？

月球重力约 1.62 m/s²，只有地球的 1/6，而且几乎没有大气。按 R = v₀²sin2θ / g，同样的初速度和角度，射程和最大高度都约为地球（无阻力）的 6 倍，飞行时间也约为 6 倍。选择「月球」预设时空气密度自动设为 0，正好可以看到纯粹的抛物线。

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