# 一维薛定谔方程模拟器 - 势阱能级与波函数、量子隧穿波包动画、叠加态

> 免费在线一维薛定谔方程求解：无限深阱、有限深阱、谐振子、双势阱与自绘势能的能级和波函数，高斯波包撞击势垒的隧穿动画与透射系数 T(E)，两个本征态叠加的概率晃动。

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在浏览器里数值求解一维薛定谔方程，默认以电子为对象，长度用 nm、能量用 eV（也可切换到 ħ = mₑ = 1 的原子单位）。束缚态部分把哈密顿量用有限差分离散成对称三对角矩阵，用 Sturm 序列二分加反迭代求出最低的若干能级和归一化波函数，画在势能图上，并与无限深阱、谐振子、有限深阱的解析能级逐项对照；还可以直接在图上拖动画出任意分段势能。波包部分用 Crank–Nicolson 格式演化高斯波包撞上方势垒、势阶、势阱或双势垒，动画显示 Re ψ、Im ψ 与 |ψ|²，实时统计反射和透射概率，并与转移矩阵算出的 T(E) 曲线比较。叠加态部分让两个本征态以 ΔE/ħ 的频率来回“晃动”，显示 ⟨x⟩ 随时间的振荡。

## 使用步骤

1. 选择模块：束缚态与能级、波包隧穿或叠加态演化
2. 选势能类型并调整阱宽、阱深、ħω、势垒高度与宽度，或在图上直接画势能
3. 点击能级查看波函数和概率分布，播放波包动画读取透射率，或选两个态观察叠加后的周期振荡

## 功能特点

- 有限差分 + 对称三对角本征求解，能级与解析解的误差逐项列出
- 无限深阱、有限深阱、谐振子、双势阱和可拖动绘制的自定义势
- ψₙ 与 |ψₙ|² 叠画在能级上，给出 Δx 与经典禁区概率
- Crank–Nicolson 波包演化，概率严格守恒，自动测量透射率
- 转移矩阵精确 T(E) 曲线、方势垒解析式与经典粒子对比
- 叠加态 |Ψ(x,t)|² 动画、⟨x⟩(t) 曲线与跃迁频率；可切换原子单位

## 常见问题

### 一维无限深势阱的能级公式是什么？电子在 1 nm 的阱里能量多大？

Eₙ = n²π²ħ²/(2ma²)，n = 1, 2, 3…，能级与 n² 成正比，波函数 ψₙ = √(2/a)·sin(nπx/a)。电子的 ħ²/2mₑ ≈ 0.0381 eV·nm²，所以 a = 1 nm 时 E₁ ≈ 0.376 eV、E₂ ≈ 1.50 eV、E₃ ≈ 3.38 eV。阱宽减半，所有能级变为 4 倍，这就是量子点越小发光越偏蓝的原因。

### 量子隧穿的透射概率怎么算？

粒子能量 E 低于方势垒高度 V₀ 时，透射系数 T = [1 + V₀² sinh²(κa) / (4E(V₀ − E))]⁻¹，κ = √(2m(V₀ − E))/ħ，a 为势垒宽度。势垒较厚时近似 T ≈ 16(E/V₀)(1 − E/V₀)e^(−2κa)，随宽度指数衰减。例如 0.8 eV 的电子穿过 1 eV 高、0.5 nm 宽的势垒，T ≈ 0.24。E > V₀ 时 T 也不一定等于 1，只有在 k′a = nπ 时才完全透射。

### 为什么波包的透射率和平面波的 T(E₀) 不一样？

有限宽度的波包包含一系列动量，宽度 σ 的高斯波包动量分布的标准差为 ħ/(2σ)。由于 T(E) 随能量变化很陡（隧穿时近似指数），高能分量贡献更大，所以实测透射率是 T(E) 对动量分布的加权平均 ⟨T⟩，通常高于 T(E₀)。波包越宽，动量越确定，⟨T⟩ 越接近平面波结果。工具会同时给出两者和模拟结果。

### Crank–Nicolson 方法有什么优点？

它对时间做隐式的中点离散：(1 + iHΔt/2ħ)ψⁿ⁺¹ = (1 − iHΔt/2ħ)ψⁿ。矩阵是酉的 Cayley 形式，所以总概率在每一步都严格守恒，并且对任意时间步长都稳定；一维情况下每步只需解一个三对角线性方程组，计算量与格点数成正比。显式欧拉法则会让范数指数增长、很快发散。

### 两个能级叠加后为什么会“晃动”？和原子发光有什么关系？

Ψ = c₁ψ₁e^(−iE₁t/ħ) + c₂ψ₂e^(−iE₂t/ħ)，概率密度中出现交叉项 2c₁c₂ψ₁ψ₂cos(ΔE·t/ħ)，所以电子分布以角频率 ω = ΔE/ħ 来回振荡，周期 T = h/ΔE。若两个态宇称相反，⟨x⟩ 随之振荡，形成振荡的电偶极矩，向外辐射频率 ν = ΔE/h 的光，这正是玻尔频率条件的来源；宇称相同时偶极矩阵元 ⟨m|x|n⟩ 为零，对应偶极跃迁禁戒。

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