# 狭义相对论计算器 - 时间膨胀、长度收缩、质能、双生子佯谬、闵可夫斯基图

> 狭义相对论在线计算：输入速度得到 γ、时间膨胀与长度收缩，电子/质子的能量动量、速度合成、双生子旅行时间，并画出可加事件的闵可夫斯基时空图。

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用一个速度滑块（也可直接输入 β、km/s 或 γ）同时看清狭义相对论的几大效应：洛伦兹因子、运动时钟变慢、沿运动方向的长度收缩，配有收缩的火箭和走得慢的飞船时钟动画。能量与动量标签对比电子、质子、1 kg 物体的相对论与经典动能，还能由动能反求速度；速度合成、双生子旅行（匀速或 1 g 恒定加速）各有专门的计算和世界线图。时空图里可以点击添加事件、拖动 β，亲眼看到两个事件的“同时”如何随参考系改变。

## 使用步骤

1. 在第一个标签拖动速度或输入 β / km/s / γ，也可选 GPS 卫星、宇宙线 μ 子、LHC 质子等预设
2. 阅读 γ、时间膨胀、长度收缩，填入固有时间或固有长度得到具体数值
3. 切到能量、速度合成、双生子等标签做对应计算
4. 在时空图中点击添加事件、拖动 β 或切换参考系，观察同时线和事件先后的变化

## 功能特点

- β、km/s、γ 三种方式输入速度，低速下 γ−1 也精确无舍入误差
- 长度收缩火箭与双时钟动画
- 静能、总能量、相对论/经典动能与动量，eV 自动换单位，可由动能反求速度
- 相对论速度合成与快度相加
- 双生子旅行：匀速往返或 1 g 恒定加速，带固有时刻度的世界线图
- 交互式闵可夫斯基图：光锥、斜交坐标轴、同时线、间隔类型与先后顺序判断

## 常见问题

### GPS 卫星真的需要考虑相对论吗？

需要。GPS 卫星约以 3.87 km/s 运动，狭义相对论的时间膨胀让星上时钟每天慢约 7.2 μs（可在本工具输入该速度验证）；但卫星处在较弱的引力场中，广义相对论效应让它每天快约 45.7 μs，净效果是每天快约 38 μs。若不修正，定位误差每天会累积到 10 km 以上，所以星上原子钟出厂时就被故意调慢了。

### 既然运动是相对的，为什么双生子回来时旅行者更年轻？

两人的处境并不对称：地球上的兄弟始终待在同一个惯性系里，而旅行者中途掉头，换了参考系。在旅行者看来，掉头那一刻他的“同时线”突然倾斜，地球上的“此刻”一下子向前跳了许多年。用时空图看最清楚：两条连接相同起点和终点的世界线，直线（惯性运动）的固有时最长，折线更短。加速度本身不是原因，换参考系才是。

### 为什么任何物体都无法加速到光速？

动能是 (γ − 1)mc²，当 v → c 时 γ → ∞，需要的能量趋于无穷。动量 γmv 也同样发散。LHC 把质子加速到 6.8 TeV，γ 约 7250，速度已是 0.99999999c，再加能量只是让 γ 变大、速度几乎不再增加。速度合成公式 w = (u + v)/(1 + uv/c²) 也保证两个低于光速的速度相加永远低于光速。

### 时空图上的“同时线”是什么？为什么同时会因人而异？

在静止参考系 S 中，同时的事件位于水平线上。以速度 β 运动的参考系 S′ 的时间轴是 x = β·ct，它的同时线（x′ 轴的平行线）则是 ct = β·x，向上倾斜。所以在 S 中同时的两个事件，在 S′ 中一前一后。不过只有类空间隔（Δs² < 0）的事件顺序才可能颠倒，它们之间不可能有因果联系；类时事件在所有参考系中先后不变，因果律得以保持。

### E = mc² 和相对论动能有什么关系？

静止的物体也具有静能 E₀ = mc²，运动时总能量变为 E = γmc²，多出来的 (γ − 1)mc² 就是动能。低速时 (γ − 1)mc² ≈ ½mv²，就回到经典公式；速度为 0.9c 的电子，相对论动能已是经典值的 3 倍多。能量和动量满足 E² = (pc)² + (mc²)²，对光子这类无质量粒子，E = pc。

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