# 弹簧振子模拟 - 阻尼振动、受迫振动、共振曲线与耦合振子

> 在线弹簧振子模拟：调节 k、m、阻尼与驱动力，实时动画与 x(t) 曲线，自动判断欠阻尼/临界/过阻尼并给出 ω₀、ζ、Q，画共振曲线，演示耦合振子。

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这是一个可以动手调的弹簧–质量–阻尼器实验台：拖动滑块改变质量、劲度系数、阻尼和驱动力，弹簧动画和 x(t) 曲线同步更新，工具自动判断欠阻尼、临界阻尼或过阻尼，给出固有频率、阻尼比、Q 值、衰减时间等，并用 RK4 积分实时核算外力做功与阻尼耗散。共振曲线面板画出不同阻尼下的振幅和相位随驱动频率的变化，点一下就能换频率；耦合振子面板展示两个简正模以及能量在两块之间来回转移的拍。

## 使用步骤

1. 选一个预设（自由振动、三种阻尼、共振、拍、汽车悬架等）或直接调节 m、k、c
2. 勾选驱动力并设定 F₀ 和 ω，点播放观察振动与 x(t) 曲线
3. 对照阻尼状态、ω₀、ζ、Q、稳态振幅与相位，在共振曲线上点选不同频率比较
4. 切到耦合振子，试试激发模 1、模 2 或只拉一块，观察拍和能量交换

## 功能特点

- 弹簧、阻尼器、驱动力实时动画与滚动 x(t) 曲线
- 自动判断欠阻尼 / 临界阻尼 / 过阻尼，给出 ω₀、ζ、Q、ωd、τ、对数衰减率
- 振幅与相位共振曲线（多条阻尼比参考线），点击设定驱动频率
- 动能、势能、外力做功、阻尼耗散的能量核算
- 双质量耦合振子：简正频率、模态形状、拍周期与能量条
- RK4 数值积分，对数刻度滑块覆盖从小玩具到汽车悬架

## 常见问题

### 欠阻尼、临界阻尼、过阻尼有什么区别？

看阻尼比 ζ = c/(2√(km))。ζ < 1 为欠阻尼，物体以 ωd = ω₀√(1−ζ²) 振荡，振幅按 e^(−ζω₀t) 衰减；ζ = 1 为临界阻尼，不振荡而且回到平衡位置最快；ζ > 1 为过阻尼，同样不振荡，但阻力太大，爬回平衡位置更慢。汽车减震器通常设计在 ζ ≈ 0.2–0.4，门的闭门器、精密仪表的指针则接近临界阻尼。

### 共振时振幅为什么不会无限大？峰值为什么不正好在 ω₀？

稳态振幅 A = F₀/√((k − mω²)² + (cω)²)。只有完全没有阻尼时 ω = ω₀ 才让分母为零，振幅随时间线性增长；有阻尼时峰值有限，约为静态位移的 Q 倍。位移振幅的峰位于 ω_r = ω₀√(1 − 2ζ²)，略低于 ω₀；ζ ≥ 1/√2 时根本没有峰。速度振幅和吸收功率的峰才正好在 ω₀，此时位移比驱动力滞后 90°。

### 品质因数 Q 是什么意思？

Q = 1/(2ζ) = √(km)/c，衡量振子有多“干净”：Q 越大，能量损耗越慢，共振峰越尖。它约等于振幅衰减到 1/e^π（约 4%）所需的振荡次数，也等于共振频率除以半功率带宽 ω₀/Δω。音叉、石英晶体的 Q 可达上千乃至上百万，汽车悬架的 Q 只有 1 左右。

### 相位滞后为什么从 0° 变到 180°？

驱动很慢（ω ≪ ω₀）时弹簧力占主导，物体几乎跟着外力同步移动，相位差接近 0；在 ω₀ 处惯性与弹力抵消，只剩阻尼平衡外力，位移滞后 90°；驱动很快（ω ≫ ω₀）时惯性占主导，物体来不及跟随，运动方向与外力相反，滞后接近 180°，振幅也很小。阻尼越小，这个从 0° 到 180° 的转变越陡。

### 耦合振子里的拍和简正模是怎么回事？

两块质量用一根耦合弹簧连接后，有两种所有部分都以同一频率振动的方式：同相的模 1，耦合弹簧不伸缩，ω₁ = √(k/m)；反相的模 2，耦合弹簧被拉压，ω₂ = √((k + 2k_c)/m)。任何运动都是这两个模的叠加。只拉一块时两个模振幅相等，叠加出拍：能量以周期 2π/(ω₂ − ω₁) 在两块之间来回转移，耦合越弱，拍越慢、交换越彻底。

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