# 泰勒展开计算器 - 在线求泰勒级数与麦克劳林级数（带误差与图像）

> 免费在线泰勒级数计算器：输入 f(x)、展开点 a 和阶数 n（1～20），用自动微分精确求出各阶导数与系数并以分数显示，给出截断误差、收敛半径和对比图。

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泰勒展开把一个函数在某点附近写成多项式：f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x−a) + f″(a)/2!·(x−a)² + …。输入函数和展开点，工具会给出 n 阶泰勒多项式、每一项的系数（尽量化成 1/6、−1/5040 这样的分数）、在指定点的真实误差，并把函数和不同阶数的多项式画在一起，直观看到阶数越高贴合的范围越大。展开点取 0 就是麦克劳林级数。

## 使用步骤

1. 输入函数 f(x)，如 sin(x)、e^x、ln(1+x)、1/(1-x)
2. 填写展开点 a（可写 pi/4 这类表达式）并拖动选择阶数 n
3. 查看泰勒多项式、系数表与收敛半径估计
4. 填一个检验点 x 看误差，在图上勾选要对比的阶数，或在函数图像中打开

## 功能特点

- 前向自动微分（截断幂级数）求导，不是差商近似，20 阶系数依然精确
- 支持 sin、cos、tan、asin、atan、sinh、exp、ln、lg、sqrt、cbrt、幂函数、x^x 等及其复合
- sin(x)/x、(e^x−1)/x 这类 0/0 型在 0 处可直接展开
- 系数自动化成分数或 k! 形式，如 −1/5040、1/19!、−5/128
- 给出 f(x)、Pₙ(x)、绝对误差、相对误差与下一项大小
- 根据系数衰减估计收敛半径，检验点落在收敛区间外时会提醒
- 内置小图对比函数与多个阶数的泰勒多项式，并可在函数图像中打开
- 一键复制多项式表达式（函数图像可直接识别的写法）

## 常见问题

### 泰勒展开和麦克劳林展开有什么区别？

麦克劳林级数就是展开点 a = 0 时的泰勒级数。比如 e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …。在工具里把展开点填 0 即可。

### 系数是怎么算出来的，准确吗？

工具把 x 写成 a + t，对表达式的每一步（加减乘除、乘方、三角、指数、对数）都按幂级数递推，这就是前向自动微分。各阶导数由精确公式得到，只有浮点舍入误差，不会像差分法那样阶数一高就失真。

### 为什么阶数越高，远处的误差反而越大？

泰勒级数只在收敛半径以内收敛。比如 1/(1−x) 和 ln(1+x) 在 0 处展开的收敛半径是 1，在 x = 1.5 处加再多项也不会收敛，误差会越来越大。工具会估计收敛半径，并在检验点超出范围时提示。

### 哪些函数不能展开？

在展开点没有定义或不可导的函数不行，例如 ln x 和 √x 在 0 处、|x| 在 0 处、tan x 在 π/2 处。这时换一个展开点即可，比如 ln x 在 a = 1 处展开。

## 相关工具

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