# 向量计算器 - 点积、叉积、模、夹角与投影在线计算

> 免费在线向量计算器：二维/三维向量的加减与数乘、点积与叉积、模长、夹角、单位向量、投影长度与投影向量，并判断两向量是否垂直或平行。

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- 最后更新: 2026-10-26
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支持二维和三维向量：一次给出 a+b、a−b、k·a、点积、叉积、两者的模、夹角、a 的单位向量、a 在 b 上的投影长度与投影向量，并判断垂直、平行关系；叉积的模同时给出平行四边形与三角形面积。

## 使用步骤

1. 选择二维或三维
2. 填入向量 a 与 b 的各个分量，需要数乘时填写系数 k
3. 结果即时显示，可复制需要的分量

## 功能特点

- 二维与三维向量通用，二维叉积按标量给出
- 点积、叉积、模长、夹角（度与弧度）
- 单位向量、投影长度与投影向量
- 由叉积模给出平行四边形面积与三角形面积
- 自动判断垂直、平行或一般关系

## 常见问题

### 点积和叉积有什么区别？

点积结果是一个数，等于 |a||b|cosθ，可以用来求夹角和投影；叉积在三维中结果是一个向量，垂直于原来两个向量，其模等于两向量张成的平行四边形面积。

### 怎么求两个向量的夹角？

cosθ = a·b / (|a||b|)，再取反余弦。工具同时给出度与弧度，零向量时会提示夹角无定义。

### 怎么判断两个向量垂直或平行？

点积为 0 表示垂直；叉积为 0（二维为标量 x₁y₂−x₂y₁ 等于 0）表示平行。工具会直接给出结论。

### 投影长度是什么？

a 在 b 方向上的投影长度 = a·b / |b|，乘以 b 的单位向量就得到投影向量，工具两个都会算出来。

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