# 波的叠加与驻波模拟器 - 驻波、拍、双源干涉动画

> 在线波动模拟器：两列行波叠加动画、弦与管的驻波（波节波腹、谐波频率）、拍频试听、水波槽双源干涉图样与加强减弱线，每一步公式和代入过程都一并给出。

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- 最后更新: 2026-10-26
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把中学到大学物理里最常见的四种波动现象放进同一个工具：两列行波的叠加、弦和空气柱上的驻波、两个相近频率产生的拍，以及两个相干波源在水波槽里形成的干涉图样。每个场景都能拖动参数实时观察，并给出对应公式、代入过程和关键数值，驻波和拍还能直接用浏览器播放声音听一听。

## 使用步骤

1. 在顶部选择场景：行波叠加、驻波、拍或双源干涉
2. 点预设（如吉他弦、单簧管、音叉、经典干涉）或拖动滑块调节振幅、波长、频率、长度、张力、间距等参数
3. 观察动画，并在下方读出合振幅、谐波频率、拍频、程差等结果和公式推导
4. 需要时点击“试听”按钮听驻波音高或两个音的拍，再点一次停止

## 功能特点

- 两列行波分行或叠加显示，自动识别相长/相消、驻波、波包，给出合振幅、驻波比与群速度
- 弦（两端固定、一端自由）与管（开管、闭管）四种边界，标出位移波节 N 与波腹 A，可同时显示声压振型
- 由张力和线密度 v = √(T/μ) 或气温算声速，支持管口末端修正
- 拍：放大的载波 + 整段包络，拍频、拍周期、音分差，可用 Web Audio 实时试听
- 水波槽双源干涉：瞬时波面 / 时间平均强度两种视图，双曲线形加强线与减弱线、屏上强度分布、可拖动探测点看程差
- 中英双语，手机上同样流畅

## 常见问题

### 驻波和行波有什么区别？

行波的波形整体向前移动，能量也随之传播；驻波是两列振幅、频率相同、方向相反的行波叠加而成，y = 2A·sin(kx)·cos(ωt)，空间部分和时间部分分开，波形不前进。波节处始终不动，波腹处振幅最大（2A），相邻波节间距 λ/2，两个波节之间的质点同步振动，跨过波节相位相反。

### 为什么一端封闭的管子只有奇次谐波？

闭口端空气不能移动，必须是位移波节；开口端与大气相通，近似为位移波腹。从波节到波腹的距离只能是 λ/4 的奇数倍，所以 L = (2n−1)λ/4，频率 f = (2n−1)v/(4L)，只出现 1、3、5… 倍基频。单簧管音色偏“空”、比同长度的长笛低大约一个八度，就是这个原因。实际计算时开口端要加约 0.61r 的末端修正。

### 拍频怎么算？为什么听到的是忽强忽弱？

两个频率接近的声音相加：cos(2πf₁t) + cos(2πf₂t) = 2cos(π(f₁−f₂)t)·cos(2πf̄t)。耳朵听到的是平均频率 f̄ 的音，但振幅被一个慢变的包络调制，响度每秒起伏 |f₁ − f₂| 次，这就是拍频。拍频在十几赫兹以内能清楚数出来，调音师正是把拍调到消失来对准音高；差得太多就会听成粗糙的颤音或两个不同的音。

### 双源干涉的加强线为什么是双曲线？

到两个波源的程差 Δ = r₁ − r₂ 为常数的点构成以两源为焦点的双曲线。同相波源在 Δ = mλ 处两列波同相叠加（加强），在 Δ = (m + ½)λ 处反相抵消（减弱）。离得远时双曲线趋近直线，方向满足 sinθ = mλ/d；由于 |Δ| 不能超过间距 d，加强线最多有 2⌊d/λ⌋ + 1 条。杨氏双缝实验就是同样的原理。

### 弦上的波速和音高由什么决定？

弦上横波速度 v = √(T/μ)，T 是张力，μ 是单位长度质量。两端固定的弦基频 f₁ = v/(2L) = (1/2L)·√(T/μ)：弦越短、越紧、越细，音越高。张力变为 4 倍，音高升高一个八度；按住品格缩短有效长度也能升高音高。例如 0.648 m 的吉他 A 弦（μ ≈ 3.6 g/m）约需 73 N 张力才能发出 110 Hz。

## 相关工具

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