# 梁的剪力图与弯矩图 - 支座反力、挠度、弯曲应力计算

> 在线梁计算器：简支梁、外伸梁、悬臂梁，可加集中力、均布和三角形荷载、力偶，自动求支座反力，画剪力图、弯矩图和挠度曲线，算弯曲应力。

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- 最后更新: 2026-10-29
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材料力学里画剪力图和弯矩图的在线工具。设置梁长和支座（简支、外伸或悬臂），在梁上添加并拖动集中力、均布荷载、三角形/梯形荷载和集中力偶，立即得到支座反力、剪力图、弯矩图、最大弯矩位置和剪力零点。再选材料和截面（矩形、圆、圆管、矩形管、工字钢），还能算出挠度曲线、最大挠度和最大弯曲应力。

## 使用步骤

1. 选一个教材例题，或设置梁长和支座形式，拖动支座位置做成外伸梁
2. 添加集中力、均布荷载、三角形荷载或力偶，在梁上拖动或在列表中输入位置和大小
3. 查看剪力图、弯矩图和挠度曲线，在图上移动光标读出任意截面的数值
4. 选择材料和截面尺寸，得到惯性矩、最大挠度和最大弯曲应力

## 功能特点

- 支持简支梁、外伸梁和左/右端固定的悬臂梁，支座位置可拖动
- 集中力、均布荷载、线性（三角形、梯形）分布荷载和集中力偶，可任意组合
- 自动求支座反力并列出平衡方程，标出最大正负弯矩、最大剪力和剪力零点
- 数值二次积分求挠度曲线和最大挠度，给出跨挠比 L/δ
- 钢、铝、木材、混凝土材料和五种常用截面，自动算惯性矩、抗弯截面系数和弯曲应力
- 八个教材经典例题一键载入，可与公式结果对照

## 常见问题

### 剪力图和弯矩图的正负号怎么规定？

工具采用材料力学教材最常用的约定：剪力 V(x) 等于截面左侧所有向上力之和；弯矩以使梁下凸、下缘受拉为正（「下凸为正」）。荷载向下为正值输入，集中力偶逆时针为正。按此约定，简支梁在向下荷载下弯矩为正，悬臂梁固定端附近弯矩为负。

### 为什么剪力为零的位置就是弯矩最大的位置？

因为 dM/dx = V，弯矩对 x 的导数就是剪力。剪力由正变负的位置，弯矩先增后减，正是极大值。所以求最大弯矩时先找剪力零点。剪力也可能在集中力处直接从正跳到负，这时弯矩极值出现在集中力作用点，工具会把这类位置一并列出。

### 挠度是怎么算出来的，精度如何？

依据欧拉–伯努利梁理论 EI·y″ = M(x)。工具把弯矩除以 EI 后沿梁长数值积分两次（分成 4000 段，梯形积分加曲率修正），积分常数由支座条件确定：简支梁两个支座处 y = 0，悬臂梁固定端 y = 0 且转角为 0。对教材标准例题，结果与解析公式（如 5wL⁴/384EI、PL³/3EI）的误差在万分之一量级。

### 能计算连续梁或两端固定梁吗？

不能。本工具只处理静定梁，即只靠平衡方程就能求出全部支座反力的简支梁、外伸梁和悬臂梁。连续梁、两端固定梁等属于超静定结构，还需要变形协调条件（例如力法或弯矩分配法），这里没有实现。

### 工字钢截面的惯性矩怎么算？

把工字钢看成一个 b×h 的矩形减去两侧空出来的部分：I = [bh³ − (b − tw)(h − 2tf)³]/12，其中 b 为翼缘宽，h 为总高，tf 为翼缘厚，tw 为腹板厚。最大弯曲应力 σ = M·c/I，c = h/2。I/c 就是抗弯截面系数 W，型钢表里通常直接给出 W，可以用来核对。

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