# 有界磁场与动态圆 - 找圆心、旋转圆、放缩圆、磁聚焦

> 带电粒子在有界磁场中运动：单边界、条形、矩形、圆形、三角形区域，分步作图找圆心定半径求时间，旋转圆、放缩圆、平移圆与磁聚焦动画，附随机练习。

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- 最后更新: 2026-10-29
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这个工具把高考最难的「带电粒子在有界磁场中运动」画成可拖动的几何图：选磁场边界形状、入射点和速度方向，立刻得到轨迹、出射点、圆心角和运动时间，并能分四步演示找圆心的作图方法。动态圆部分把同速不同向、同向不同速、同速平移的一族粒子同时画出来，直观看出可达区域和临界轨迹。

## 使用步骤

1. 选择磁场边界（单直线、条形、矩形、圆形、正三角形），设定电荷正负、磁场方向、比荷、B 和速度
2. 调入射点和速度方向，看轨迹、圆心角、时间 t = θ/(2π)·T；用作图步骤按钮逐步显示圆心的找法
3. 切到旋转圆、放缩圆或平移圆，观察一族轨迹、阴影可达区域和自动求出的临界速度
4. 在练习页做随机题，查看带轨迹图的解答

## 功能特点

- 五种边界形状，精确求出射点、出射边、圆心角、弦长和在场时间
- 找圆心四步作图：速度垂线交点、弦的中垂线、半径与圆心角
- 旋转圆：可达区域阴影、最长时间轨迹、离源最远出射点和等时圆动画
- 放缩圆：圆心所在直线、自动二分求临界半径与临界速度
- 平移圆：平行粒子束，圆形磁场 r = R 时自动识别磁聚焦
- 八类随机练习题，2% 容差判分

## 常见问题

### 怎样找带电粒子在磁场中做圆周运动的圆心？

洛伦兹力始终垂直于速度并指向圆心，所以圆心一定在过入射点、垂直于入射速度的直线上。再找一个条件：若知道出射速度，就作出射点处速度的垂线，两条垂线的交点就是圆心；若只知道出射点，就作入射点与出射点连线（弦）的中垂线，它与第一条垂线的交点也是圆心。找到圆心后用几何关系求半径，再由 r = mv/(qB) 求速度。

### 粒子在磁场中运动的时间怎么求？

先求轨迹对应的圆心角 θ，它等于速度的偏转角，然后 t = θ/(2π)·T，其中 T = 2πm/(qB) 与速度无关。所以比较同一种粒子在磁场中的时间，只需比较圆心角大小。也可以用 t = 弧长/v 计算。

### 什么是旋转圆、放缩圆和平移圆？

旋转圆：速度大小相同、方向不同，所有轨迹半径相同，圆心在以粒子源为圆心、半径为 r 的圆上，常用来找粒子能打到的范围。放缩圆：方向相同、大小不同，圆心在垂直于速度的同一直线上，轨迹随速度增大而变大，常用来找与边界相切的临界速度。平移圆：速度完全相同但入射点不同，轨迹是一组全等的圆。

### 圆形磁场中的「径向进、径向出」和磁聚焦是怎么回事？

粒子沿半径方向射入圆形磁场时，入射点、出射点关于两圆心连线对称，所以一定沿半径方向射出，偏转角满足 tan(θ/2) = R/r。当轨道半径 r 等于磁场区域半径 R 时，平行射入的一束粒子会汇聚到圆周上同一点（磁聚焦）；反过来，从该点向各方向射入的粒子会平行射出（磁发散）。

### 条形磁场中恰好不从另一边射出的临界条件是什么？

临界时轨迹恰好与另一条边界相切。垂直边界射入时临界半径就是条宽 d，对应速度 v = qBd/m。斜射时要看粒子向哪边偏：临界半径 r = d/(1 − sinφ) 或 d/(1 + sinφ)（φ 为速度与边界法线的夹角）。工具的放缩圆页会自动二分求出临界半径和对应速度。

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