# 表面张力与毛细现象 - 毛细上升、拉普拉斯压强、斯托克斯沉降

> 在线表面张力计算：Jurin 毛细上升动画、液滴与肥皂泡拉普拉斯压强、躺滴形状与邦德数、斯托克斯终端速度与落球黏度计、浮针与水黾受力。

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选一种液体和管壁材料，就能看到四根粗细不同的毛细管里液柱按 Lucas–Washburn 动力学升起或下降，并按 Jurin 定律给出高度、毛细长度和适用范围。另外三页分别讲拉普拉斯压强（含两个连通肥皂泡和数值积分的躺滴形状）、斯托克斯沉降（RK4 求解从静止释放到终端速度的过程，带雷诺数检查和落球黏度计），以及浮针、水黾能被水面托住的最大重量。

## 使用步骤

1. 在「毛细上升」页选液体（水、乙醇、水银、甘油、肥皂水或自定义 γ、ρ、μ）和管壁材料，调接触角与管径
2. 点「插入毛细管」看液柱上升或下降，读出高度、h·r、弯月面压差和上升时间常数
3. 到「拉普拉斯压强」页选液滴/气泡/肥皂泡和半径，打开阀门看小泡把气体推进大泡，再调液滴体积观察邦德数与形状
4. 在「斯托克斯沉降」页选流体、小球材料和半径，释放小球对比纯斯托克斯与修正阻力，或输入实测时间反算黏度
5. 在「浮针与水黾」页调针的直径或水黾腿长，看是否浮得住以及安全系数

## 功能特点

- Jurin 定律 + Lucas–Washburn 上升动画，凹/凸弯月面按接触角绘制
- 液滴、液中气泡与肥皂泡（两个面）的拉普拉斯压强，连通双泡的真实平衡
- 数值积分 Young–Laplace 方程得到躺滴形状，与同体积球冠对比
- 斯托克斯终端速度、雷诺数适用性检查、含附加质量的 RK4 下落过程
- 落球黏度计反算黏度，可选 Faxén 管壁修正
- 浮针与水黾的最大支撑力、弯月面剖面和受力箭头

## 常见问题

### 为什么管子越细，水升得越高？

液柱的重量 ρgπr²h 由沿管壁一圈的表面张力竖直分量 2πrγcosθ 托住，两者相等得 h = 2γcosθ/(ρgr)，高度与半径成反比。半径 0.5 mm 的洁净玻璃管里水升约 3 cm，0.05 mm 时约 30 cm。它只在 r 远小于毛细长度 ℓc = √(γ/ρg)（水约 2.7 mm）时准确，管子太粗时弯月面被重力压扁，实际升高小于公式值。

### 水银为什么在玻璃管里反而下降？

水银与玻璃不浸润，接触角约 140°，cosθ 为负，所以 h 为负：管内液面低于外面，弯月面凸起。同理，水在石蜡或聚四氟乙烯管中（接触角大于 90°）也会下降。接触角取决于液体和固体的组合以及表面清洁度，实际值可能和预设有出入。

### 两个连通的肥皂泡，为什么小的会被吹进大的？

肥皂泡有内外两层膜，内外压差 ΔP = 4γ/R，半径越小压强越大，所以气体从小泡流向大泡，小泡越缩越小、压强越来越大，过程自我加速。但小泡缩过半球后，管口上的球冠反而越来越扁、曲率半径变大，直到和大泡曲率相同才停下，最终是一个扁球冠连着一个更大的泡。

### 斯托克斯定律什么时候适用？

它假设小球周围是缓慢的蠕动流，惯性可以忽略，要求雷诺数 Re = ρv·2r/μ 远小于 1（Re < 0.1 误差约 1–2%）。甘油、蜂蜜里的小钢珠、空气中的雾滴和细尘都满足；水里几毫米的钢球 Re 上千，斯托克斯公式会把终端速度高估几十倍。工具同时用 Schiller–Naumann 阻力公式计算，并给出两者的对比。

### 水黾和钢针为什么能浮在水面上？

物体压出一个小凹坑，两侧水面以倾角 ψ 斜拉着它，每单位长度提供 γsinψ 的竖直力，凹坑还排开一部分水产生浮力。ψ 接近 90° 时支撑最大，约为 2γL 再加上浮力。直径 1 mm 的钢针重量只有最大支撑的三分之一，所以能轻放浮起；只计表面张力时直径上限约 1.5 mm，算上凹坑浮力约 2 mm。往水里加肥皂把 γ 降到三分之一左右，最大支撑力随之大减，原本浮着的较粗钢针就会沉下去。

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