# 卡文迪许扭秤实验 - 测引力常量 G、光杠杆读数、库仑扭秤

> 在线卡文迪许扭秤：模拟阻尼扭转振动与光杠杆读数，用拐点法求平衡位置和周期，算出 G 并做修正、称量地球；另含库仑扭秤验证平方反比。

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把卡文迪许扭秤实验搬进浏览器：两颗小铅球挂在细丝下横杆的两端，把大铅球转到位置 A 或 B，横杆在微弱的引力矩下做阻尼扭转振动，镜子把转角放大成标尺上几厘米的光点移动。你像在实验室里一样记录光点的拐点，程序用拐点法求出两个位置的平衡读数和周期，代入 G = 2π²Lr²θ/(MT²) 得到引力常量，再做远侧大球、横杆转动惯量和阻尼周期三项修正，与 CODATA 比较后还能“称量地球”。另一页是库仑扭秤，重现 1785 年验证电荷间平方反比定律的三组读数。

## 使用步骤

1. 选择教学用扭秤或卡文迪许原装置，点“开始”，用时间加速观察光点振动
2. 让大球停在位置 A，记录 4–5 个周期的拐点读数，再点“转到位置 B”继续记录
3. 查看两段的平衡位置和周期，得到 G 及修正后的结果，与 CODATA 比较并算出地球质量
4. 打开噪声、漂移或盲测模式，体会真实实验的误差来源
5. 切到库仑扭秤，转动扭头记录张角，或让小球接触不带电球使电荷减半，拟合力的幂次

## 功能特点

- 按四对球的精确位置计算引力矩，RK4 积分阻尼扭转振动，可加随机扰动和悬丝零点漂移
- 光杠杆示意：镜转 φ，光点移动 D·tan 2φ，转角放大显示
- 自动或手动记录拐点，(s₁ + 2s₂ + s₃)/4 求平衡位置，相邻拐点求周期与对数减缩
- G 的理想公式与三项修正：远侧大球 β、横杆转动惯量、阻尼周期
- 盲测模式隐藏真值，用测得的 G 称量地球质量与平均密度
- 库仑扭秤：扭头转角、电荷平分、幂次拟合（小角近似与精确几何对比）

## 常见问题

### 卡文迪许实验怎么用扭秤测出 G？

大球对小球的引力形成力矩 2·GMm/r²·(L/2)，被悬丝的扭转力矩 κθ 平衡。κ 不必单独测，因为扭转振动周期 T = 2π√(I/κ)，I = 2m(L/2)²，消去 κ 得 G = 2π²Lr²θ/(MT²)。所以只要测出偏转角 θ 和周期 T，再量出 L、r、M 即可，小球质量 m 被约掉了。

### 为什么要把大球从位置 A 转到位置 B？

悬丝的“零点”（不受力时的位置）很难准确知道，而且会慢慢漂移。在 A、B 两个对称位置，引力矩大小相等、方向相反，两次平衡位置之差正好对应 2θ，与零点在哪里无关；光杠杆再加倍一次，光点移动 S = 4Dθ。很多系统误差也在相减时抵消了。

### 拐点法求平衡位置是什么原理？

阻尼振动的振幅一直在衰减，直接把相邻两个拐点取平均会偏向前一个。连续三个拐点取 (s₁ + 2s₂ + s₃)/4，可以抵消振幅线性衰减带来的偏差，平衡位置几乎不受阻尼影响，因此不必等振动完全停下来（真实装置要等一两个小时）。相邻拐点相隔半个周期。

### 结果为什么要修正？修正有多大？

理想公式只计入了靠近的那对球。远处那颗大球对每个小球也有吸引，产生反向力矩，比例 β = r³/(r² + L²)^{3/2}，教学装置约 7%；横杆和镜子也有转动惯量，使周期变长，影响约 3–4%；阻尼让测得的周期略大于无阻尼周期。三项一起修正后，模拟数据能回到 CODATA 值的千分之一左右。真实实验还要考虑横杆本身受的引力、球的偏心等。

### 为什么说卡文迪许“称量了地球”？

地面重力 g = GM⊕/R²，g 和地球半径 R 早已测得，只差 G。知道 G 后 M⊕ = gR²/G ≈ 6×10²⁴ kg，平均密度 ρ = 3g/(4πGR) ≈ 5.5 g/cm³，比地表岩石大得多，说明地球内部有致密的地核。卡文迪许 1798 年的结果是 5.48 g/cm³，与今天的 5.51 只差约 1%。

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