# 天体运动高考模型 - 卫星变轨、同步卫星、追及、双星三星、估算密度

> 高考天体运动模型：万有引力提供向心力对比表、黄金代换、同步卫星、宇宙速度、卫星变轨动画、卫星追及、双星三星和估算中心天体质量密度，附随机练习。

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- 最后更新: 2026-10-29
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把高考天体运动的常见模型集中在一个工具里：用“万有引力提供向心力”比较不同轨道卫星的 v、ω、T、a（高轨低速长周期），计算黄金代换、同步卫星高度和三个宇宙速度；比较赤道上的物体、近地卫星和同步卫星；动画演示低轨 → 椭圆 → 高轨的变轨过程、两颗卫星的追及与相距最近最远，以及双星、三星系统；还能用环绕法或表面重力法估算中心天体质量和密度。每部分都给出代入数字的推导。

## 使用步骤

1. 选择“高轨低速长周期”“赤道物体·近地·同步”“卫星变轨”“卫星追及”“双星 / 三星”或“估算质量密度”
2. 选中心天体或点典型情境，调节轨道高度、相位角、星体质量与间距等参数
3. 观看轨道动画和图表，对照结果卡片与分步分析
4. 到“练习”页做随机生成的天体运动题，输入答案即时判分

## 功能特点

- 不同轨道卫星 v、ω、T、a 对比表和随 r 变化的对数图，直观体现高轨低速长周期
- 黄金代换 GM = gR²、同步卫星轨道半径与高度、第一二三宇宙速度
- 赤道上物体、近地卫星、同步卫星的 v、ω、a、T 对比及大小关系
- 霍曼变轨动画：P、Q 点速度大小排序、同一点加速度相同、周期与机械能比较
- 卫星追及：相距最近、最远的时刻和距离–时间图；双星与直线型、三角形三星系统动画
- 环绕法与表面重力法估算中心天体质量、密度（近地 ρ = 3π/(GT²)），附随机练习

## 常见问题

### 为什么说“高轨低速长周期”？

卫星绕中心天体做匀速圆周运动时由万有引力提供向心力：GMm/r² = mv²/r = mω²r = m(2π/T)²r = ma。由此 v = √(GM/r)、ω = √(GM/r³)、T = 2π√(r³/GM)、a = GM/r²。轨道半径 r 越大，v、ω、a 都越小，只有周期 T 越大。注意这个结论只适用于由万有引力完全提供向心力的环绕天体，不适用于赤道上随地球自转的物体。

### 卫星变轨时 P、Q 两点的速度怎么比较？

以低圆轨道 1 → 椭圆转移轨道 → 高圆轨道 2 为例：在近地点 P 加速，速度 v_P 大于圆轨道 1 的速度 v₁，引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆；沿椭圆到远地点 Q 速度减小为 v_Q，再加速到圆轨道 2 的速度 v₂。所以 v_P > v₁ > v₂ > v_Q。但在同一点（例如都在 P 点）加速度由 a = GM/r² 决定，椭圆轨道和圆轨道上的加速度相同。轨道越高机械能越大。

### 赤道上的物体、近地卫星和同步卫星怎么比较？

赤道上的物体和同步卫星周期相同，所以 ω 相同；由 v = ωr、a = ω²r，同步卫星半径大，v 和 a 都比赤道物体大。近地卫星和同步卫星都由万有引力提供向心力，满足高轨低速长周期，所以近地卫星的 v、ω、a 都更大、T 更小。综合得 v近 > v同 > v赤、a近 > a同 > a赤、ω近 > ω同 = ω赤。赤道物体还受地面支持力，不能用 GMm/R² = mv²/R 求它的速度。

### 双星系统的轨道半径和总质量怎么求？

两星之间的万有引力分别提供两星的向心力，它们绕连线上同一点转动，角速度和周期相同。Gm₁m₂/L² = m₁ω²r₁ = m₂ω²r₂，所以 m₁r₁ = m₂r₂，半径与质量成反比，r₁ = m₂L/(m₁ + m₂)；线速度 v = ωr 也与质量成反比。两式相加得 G(m₁ + m₂) = ω²L³，测出周期 T 和间距 L 就能求出总质量 M = 4π²L³/(GT²)，但不能分别求出两星质量。

### 怎样估算中心天体的质量和密度？

环绕法：测出卫星的轨道半径 r 和周期 T，由 GMm/r² = m(2π/T)²r 得 M = 4π²r³/(GT²)，环绕天体的质量被约掉；再除以体积得 ρ = 3πr³/(GT²R³)，若卫星贴近表面运行（r ≈ R），ρ = 3π/(GT²)，只需测一个周期。表面重力法：mg = GMm/R²，得 M = gR²/G，ρ = 3g/(4πGR)。工具里给出月球绕地球、地球绕太阳、近地卫星等预设，可以直接看到估算结果。

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