# 量纲分析 - 方程量纲检查、单位化简、π 定理、自然单位

> 在线量纲分析：检查物理方程两边量纲是否一致并标出出错的项，把 kg·m²/s³/A 化简为 V，用白金汉 π 定理求无量纲数，并查普朗克单位等自然单位。

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写下一个物理方程，工具会为每个符号匹配物理量（也可以手动选或直接输入单位），算出每一项的量纲，判断两边是否一致，并把量纲不对的项标红；sin、exp 的自变量和指数带量纲也会被指出。另外还能把任意单位表达式化简成 N、J、V、Ω、T 等有名称的 SI 导出单位，用白金汉 π 定理从一组变量求出无量纲组，并列出普朗克单位、粒子物理自然单位和原子单位的换算值。

## 使用步骤

1. 在“方程量纲检查”中输入方程或选示例，如 s = v₀t + ½at²
2. 核对每个符号对应的物理量，不对就从下拉表里改，或改成“直接输入单位”
3. 看彩色标注：绿色项量纲与左边一致，红色项不一致，下方列出具体问题
4. 在“单位化简”里输入单位表达式，得到对应的导出单位和更简洁的写法
5. 在“π 定理”里列出相关变量，得到量纲矩阵、秩和一组无量纲 π 群

## 功能特点

- 约 90 个常用物理量和常数，含七个基本量纲 M L T I Θ N J
- 方程逐项量纲检查，检查函数自变量与指数是否无量纲
- 单位表达式解析：SI 词头、上标指数、括号，识别 N、J、W、Pa、V、Ω、F、H、T、Wb 等
- 白金汉 π 定理：有理数高斯消元求零空间，可手动指定重复变量
- 单摆、阻力（雷诺数）、管道流动、泰勒爆炸波、深水波速等示例
- 普朗克单位、ħ = c = 1 的 GeV 单位、原子单位换算表

## 常见问题

### 量纲一致的公式就一定正确吗？

不一定。量纲齐次是必要条件而不是充分条件：等号两边、相加减的各项量纲必须相同，不满足的公式一定是错的；但无量纲的系数（如 ½、2π、√2）和函数形式量纲分析查不出来，例如 s = v₀t + at² 量纲一致却少了 ½。所以量纲检查适合快速排错，正确性还需要推导或实验验证。

### 为什么 sin、exp、ln 的自变量必须无量纲？

这些函数可以展开成幂级数，例如 eˣ = 1 + x + x²/2 + …，如果 x 有量纲，各项量纲就互不相同，无法相加。所以 e^(−t/τ) 里 t/τ 必须无量纲，sin(ωt) 里 ωt 是弧度（无量纲）。同理，带量纲的量只能取确定的数作为指数，x^t 这种写法在物理上没有意义。

### 白金汉 π 定理是什么？怎么用？

如果一个物理规律涉及 n 个量，它们的量纲矩阵秩为 r（通常等于涉及的基本量纲数），那么这个规律一定可以写成 n − r 个无量纲组之间的关系 Π₁ = Φ(Π₂, …)。例如球体阻力涉及 F、ρ、v、D、μ 五个量、秩为 3，得到 F/(ρv²D²) 和雷诺数 ρvD/μ 两个组，阻力系数只能是雷诺数的函数。只有一个组时，它必须等于常数，例如单摆 T²g/L = 常数，直接推出 T ∝ √(L/g)。

### 重复变量怎么选？选法不同结果为什么不一样？

重复变量要彼此量纲独立，个数等于秩 r，并且一起能覆盖所有出现的基本量纲；通常选几何尺寸、密度和速度这类“特征量”，不要选待求量。不同的选法会得到不同的一组 π 群，但它们都可以由彼此相乘、取幂得到，描述的是同一组无量纲关系，所以都正确，只是有的形式更常用（如雷诺数）。

### 普朗克单位和自然单位表有什么用？

理论物理里常令 ħ = c = 1（粒子物理）或 G = ħ = c = k_B = 1（普朗克单位），公式会简洁很多，但算出数字后需要换回 SI 单位。表中列出 1 GeV⁻¹ 对应的长度（约 1.97 × 10⁻¹⁶ m）和时间、1 GeV 对应的质量和温度、普朗克长度与时间，以及原子单位的玻尔半径、哈特里能量等，全部按 CODATA 2022 常数计算。

## 相关工具

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