# 能量守恒滑道 - 动能势能转化、摩擦生热、能量柱状图

> 在线滑板公园能量模拟：拖动控制点自定义轨道，回环、跳台、双势阱等预设，摩擦与空气阻力，实时动能、势能、内能柱状图与饼图。

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小球在一条可自由编辑的光滑曲线轨道上滑行，动能、势能和内能的柱状图与饼图随之实时变化。轨道上法向力降到零时小球会飞离轨道成为抛体，落回时把法向速度的动能变成内能；加上摩擦和空气阻力后可以看到机械能怎样一点点变成热。势能零点可以拖动，质量、重力（地球/月球/火星/木星）都能调。

## 使用步骤

1. 选一个预设轨道（U 形、双势阱、回环、跳台滑雪、过山车），或勾选「编辑轨道」拖动控制点自己画
2. 把小球拖到轨道上任意位置松手，它就开始滑动；也可以放在空中让它自由下落
3. 调节质量、摩擦因数、空气阻力和重力，观察能量柱状图、饼图与速率
4. 看下方能量–位置图：势能曲线与机械能线之间的差就是动能，两线相交处是折返点

## 功能特点

- 参数化三次样条轨道，曲率连续，法向力实时计算
- 法向力为负时脱轨成为抛体、落回轨道时计入撞击损失；也可开启过山车模式扣住轨道
- 动能、势能、内能、总能量柱状图和饼图，能量–位置与能量–时间曲线
- 可拖动的势能零点，直观理解势能的相对性
- 质量滑块演示：无空气阻力时速度与质量无关
- RK4 积分（0.5 ms 步长），能量误差低于万分之一

## 常见问题

### 为什么改变质量，小球的速度不变？

重力 mg、法向力和摩擦力 μN 都和质量成正比，代入牛顿第二定律后质量约掉，加速度只与 g、轨道形状和 μ 有关，所以速度与质量无关，只是各项能量按比例放大。加上空气阻力后情况不同：阻力 c·v² 与质量无关，产生的减速度 c·v²/m 对重的物体更小，所以重的骑手更快。

### 小球能通过回环的条件是什么？

在回环顶点，小球需要的向心力 mv²/R 必须至少等于重力 mg，也就是法向力 N = m(v²/R − g) ≥ 0，即顶点速度 v ≥ √(gR)。无摩擦时由能量守恒可得出发高度至少要比回环底部高 2.5R。工具里实时显示法向力，降到 0 时小球就会脱离轨道掉下来。

### 飞离轨道再落回时，能量为什么会减少？

落回轨道的瞬间，速度沿轨道法向的分量被轨道"吸收"（完全非弹性），只保留切向分量。对应的动能 ½m·v_n² 转为内能（声音、形变、热），所以内能柱会跳一下，而总能量保持不变。跳台滑雪的着陆坡做得很陡，就是为了让落地时的法向速度尽量小。

### 势能零点放在哪里有关系吗？

没有物理影响。势能 mgh 只有差值有意义，移动零点会让所有位置的势能同时加减一个常数，总能量也跟着变，但动能、速度和运动完全一样。零点放在小球下方时势能为正；放在上方时势能为负，饼图只画正的部分。

### 模拟的精度如何？

小球在轨道上时用弧长 s 和速率 v 作为变量，以 0.5 ms 步长做四阶龙格–库塔积分；内能也作为积分变量一起推进。在无摩擦的预设轨道上，20 秒内总能量的相对误差小于 0.01%。

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