# 误差传递计算器 - 不确定度合成、蒙特卡洛、加权直线拟合

> 在线误差传递计算器：输入公式和各量的测量值±不确定度，按方和根或线性相加求结果不确定度，给出偏导与贡献占比，附蒙特卡洛验证和加权直线拟合。

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- 最后更新: 2026-10-29
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把物理量的计算公式（如 g = 4π²L/T²）和每个测量值的不确定度填进来，工具会对每个变量符号求偏导，按独立误差的方和根或最坏情况的线性相加算出结果的不确定度，并按规范修约成 9.80 ± 0.05 这样的写法。同时用蒙特卡洛抽样检验线性近似是否可靠，第二个标签页还能对带误差棒的数据做加权直线拟合，给出斜率、截距的不确定度和 χ²/ν。

## 使用步骤

1. 输入公式，或从示例中选单摆测 g、密度、电阻、动能、抛体射程等
2. 为每个变量填测量值和不确定度（绝对值或百分比），角度变量勾选“角度”
3. 选择合成方式（独立方和根 / 最坏情况）和修约规则，读出修约后的结果
4. 查看各变量的偏导和贡献占比，对照蒙特卡洛直方图判断非线性是否明显
5. 做直线拟合时切到“加权直线拟合”，粘贴 x、y、σ_y 三列数据

## 功能特点

- 符号求偏导，并与中心差分数值导数对照
- 方和根与线性相加两种合成方式，贡献占比条形图
- 按 PDG 等规则把不确定度修约到 1–2 位有效数字，给出简明记法
- 蒙特卡洛传递：直方图、分位数区间、偏度，与线性结果对比
- 加权最小二乘直线拟合：斜率、截距、协方差、χ²/ν 与 p 值、残差图
- 单摆、密度、电阻、动能、抛体射程、透镜等示例一键载入

## 常见问题

### 什么时候用方和根，什么时候用线性相加？

各输入量的误差彼此独立（例如分别用尺子和秒表测得）时，用方和根：u_f² = Σ(∂f/∂xᵢ·uᵢ)²，这是 GUM 和大多数实验教材的标准做法。线性相加 u_f = Σ|∂f/∂xᵢ|uᵢ 假设所有误差同时朝最不利的方向偏，得到的是上限，适合给出保守的误差限，或者误差来源可能强相关又无法估计相关系数的场合。

### 结果的不确定度应该保留几位有效数字？

一般保留 1–2 位。粒子数据组（PDG）的规则是：看不确定度的前三位数字，100–354 保留两位，355–949 保留一位，950–999 进位成 1000 后保留两位。测量值再修约到与不确定度相同的小数位，例如 9.8009 ± 0.0526 写成 9.80 ± 0.05。工具也提供“首位为 1 时两位、否则一位”和“一律两位”两种规则。

### 蒙特卡洛结果和线性传递不一样，该信哪个？

线性传递只用到一阶偏导，相当于把公式在测量值附近当成直线。如果不确定度相对较大，或者公式弯曲得厉害（如 1/x、eˣ、接近 0 的开方），结果分布会偏斜，宽度和中心都会偏离线性估计。这时蒙特卡洛更可靠，可以报告它的 68% 或 95% 分位数区间；工具会根据宽度比、均值偏移和偏度提示非线性是否显著。

### 加权直线拟合的 χ²/ν 怎么看？

χ² = Σ(yᵢ − a − bxᵢ)²/σᵢ²，ν 为点数减去参数个数。若误差棒估计合理且直线模型正确，χ²/ν 应接近 1，p 值不会太小。明显大于 1 说明误差棒偏小或数据有系统偏离直线的趋势（看残差图）；明显小于 1 说明误差棒可能估大了。若确认模型正确只是误差估小了，可以勾选按 √(χ²/ν) 放大参数误差。

### 这里能算多次测量的平均值和标准偏差吗？

本工具专注于“由已知不确定度的输入量算出结果的不确定度”和直线拟合。对同一个量多次重复测量的平均值、标准偏差、置信区间以及 Q 检验、Grubbs 检验等可疑值剔除，请使用站内的“实验数据误差分析”工具；有效数字的判断和运算规则则可以用“有效数字计算器”。

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