# 受力分析与力的合成 - 斜面摩擦、绳子拉力、梯子平衡

> 在线受力分析：拖动箭头做力的合成与分解，斜面物块自动画受力图并判断是否滑动，求绳子拉力和梯子最小安全角，列出ΣF与Στ方程。

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把高中和大学力学里最常见的受力分析题做成了可以拖动的图：多个力的合成与分解、斜面上的物块（含摩擦和滑轮悬挂物）、绳子吊着的重物以及靠墙的梯子。改一个数，受力图、判断结论和 ΣFx、ΣFy、Στ 方程会一起更新。

## 使用步骤

1. 在顶部选择模式：矢量合成与分解、斜面受力或静力平衡
2. 拖动画布上的箭头、锚点或拖动滑块输入角度、质量和摩擦因数
3. 查看自动画出的受力图，以及「静止 / 向上滑 / 向下滑」等判断结论
4. 对照下方列出的平衡方程和代入数值，检查自己的解题步骤

## 功能特点

- 拖动箭头尖端改变力的大小和方向，支持首尾相接和平行四边形两种画法
- 可沿任意转角的坐标轴（如斜面方向）分解力，并给出平衡力
- 斜面模型含静/动摩擦、任意方向拉力和定滑轮悬挂物，自动判断是否滑动并求加速度和绳子拉力
- 两三根绳吊重物：拖动锚点实时求拉力，三根绳的超静定情况按弹性绳给出合理解
- 梯子靠墙：地面和墙面摩擦，给出最小安全角和人最多能爬多高
- 每种情形都列出代入数值的 ΣFx、ΣFy、Στ 方程

## 常见问题

### 斜面上的摩擦力方向怎么判断？

先假设物块不动，把除摩擦以外沿斜面的力加起来（重力分量 mg sinθ、拉力分量 P cosα、绳子拉力）。静摩擦与这个合力方向相反、大小相等；只要它不超过最大静摩擦 μsN，物块就保持静止。如果超过了，物块朝合力方向滑动，摩擦变成动摩擦 μkN，方向与运动方向相反。工具正是按这个顺序判断的，所以摩擦方向可能沿斜面向上，也可能向下。

### 为什么斜面上的支持力不一定等于 mg cosθ？

支持力由垂直斜面方向的平衡决定：N + P sinα − mg cosθ = 0。只有没有外加拉力（或拉力平行于斜面）时 N 才等于 mg cosθ。斜向上拉会让 N 变小，摩擦也随之变小；斜向下压则 N 变大。若拉力的垂直分量超过 mg cosθ，物块会离开斜面，工具会给出提示。

### 三根绳吊一个重物，为什么说拉力不确定？

平面内的质点只有两个平衡方程（ΣFx = 0、ΣFy = 0），三根绳却有三个未知拉力，这叫超静定。仅凭几何形状无法唯一确定拉力分配，真实结果取决于绳子的弹性和安装时的松紧。工具假设三根绳是同样材料的弹性绳（刚度与长度成反比）并且变形很小，用位移法求出一组合理解；如果算出某根绳需要「推」，就把它当作松弛重新计算。

### 梯子的最小安全角是怎么来的？

梯子受重力、人的重力、地面的支持力和摩擦力、墙的支持力和摩擦力。列出 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和对梯脚的力矩平衡 Στ = 0，再令两处摩擦都达到最大值 f₁ = μ₁N₁、f₂ = μ₂N₂，就得到临界角 tanθmin = [(m/2 + Md/L)(1 + μ₁μ₂)/(m + M) − μ₁μ₂]/μ₁。墙面光滑、没人站时就是熟悉的 tanθmin = 1/(2μ₁)。人爬得越高，需要的角度越大。

### 力的合成用平行四边形和首尾相接有什么区别？

两种画法结果完全一样，都是矢量相加。平行四边形法则适合两个力：以两个力为邻边作平行四边形，对角线就是合力。三个以上的力用首尾相接（多边形法则）更方便：把各个力依次接起来，从起点指向终点的箭头就是合力。平衡力与合力大小相等、方向相反，加上它之后合力为零。

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