# 高斯定理演示 - 高斯面、电通量、E(r) 与 V(r) 分步推导

> 高斯定理可视化：点电荷、均匀带电球、导体球壳、同轴电缆、无限大平面、平行板等，拖动高斯面看包围电荷与电通量，画 E(r)、V(r) 并分步代入推导。

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- 最后更新: 2026-10-29
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选择一种对称的电荷分布，在截面图上拖动高斯面（球面、圆柱面或柱形高斯盒），被包围的电荷会高亮，同时给出包围电荷、电通量 Φ = Q_enc/ε₀、场强和电势。下方的 E(r) 与 V(r) 曲线标出当前位置，分步推导会把对称性论证、面积、包围电荷和高斯定理的每一步都代入当前数值。非均匀带电球 ρ ∝ rⁿ 的包围电荷用数值积分计算，并与解析式对照。

## 使用步骤

1. 从下拉菜单选择电荷分布：点电荷、带电球体、导体球、同心球壳、线电荷、圆柱、同轴电缆、平面、平板或平行板
2. 输入电荷（nC）、电荷密度和尺寸（cm）；带电球体还可以调密度指数 n
3. 在画布上拖动高斯面或用滑块改变半径 r（平面类为位置 x），观察哪些电荷被包围
4. 读取电通量、E、V 和 E(r)/V(r) 曲线，对照下方的分步推导

## 功能特点

- 11 种球对称、轴对称和平面对称的电荷分布，含导体内部 E = 0 与感应电荷
- 可拖动的高斯面，包围的电荷高亮，高斯面上画出 E 的方向和相对大小，背景显示电场方向
- 电通量 Φ = Q_enc/ε₀，并用 E·A 校验
- E(r) 和 V(r) 曲线，电势由分段辛普森积分求得，说明电势零点的选取
- 代入数值的五步推导：对称性 → 面积 → 包围电荷 → 高斯定理 → 解出 E 和 Φ
- 非均匀带电球 ρ = ρ₀(r/R)ⁿ：数值积分与解析式 Q(r/R)ⁿ⁺³ 对照

## 常见问题

### 高斯定理总是成立，为什么只能用来算少数几种电场？

∮E·dA = Q_enc/ε₀ 对任何闭合曲面都成立，但它只给出 E 在整个面上的积分。只有当电荷分布有足够的对称性（球、无限长圆柱、无限大平面），我们才能选一个高斯面，使 E 在面上大小处处相等且与面垂直（或平行），从而把 E 提到积分号外直接解出。对一般的电荷分布，高斯定理仍然正确，但需要用库仑定律叠加或数值方法求场。

### 为什么导体内部电场为零，电荷都在表面？

静电平衡时导体内的自由电子不再定向移动，这要求导体内部 E = 0。在导体内部任取一个高斯面，通量为零，所以包围的净电荷为零——多余电荷只能分布在表面。对同心导体球壳，内表面会感应出与内球等量异号的电荷，外表面带上两者之和，这正是工具里「表面电荷」一行显示的数值。

### 均匀带电球体内部的电场为什么随 r 线性增大？

半径 r 的高斯球面只包围 Q(r/R)³ 的电荷，而面积是 4πr²，所以 E = kQ(r/R)³/r² = kQr/R³，与 r 成正比，在球面处达到最大值 kQ/R²，之后按 1/r² 衰减。球心电势是表面电势的 1.5 倍，即 1.5kQ/R。若密度 ρ ∝ rⁿ，包围电荷变为 Q(r/R)ⁿ⁺³，内部 E ∝ rⁿ⁺¹。

### 无限大带电平面的电场为什么和距离无关？

用穿过平面的柱形高斯盒，两个端面各面积 A，侧面与 E 平行不贡献通量，于是 2EA = σA/ε₀，得到 E = σ/(2ε₀)，与距离无关——因为平面无限大，离得再远看起来也一样“大”。平行板电容器两板的场在板间叠加为 σ/ε₀，在板外相互抵消为零。

### 无限长线电荷的电势为什么不能取无穷远为零？

线电荷的场 E = λ/(2πε₀r) 只按 1/r 衰减，从 r 积分到无穷远会发散（对数发散），所以无穷远处不能作为电势零点。工具对轴对称分布取图右端 r_max 处为零，对平面对称分布取 x = 0 为零；电势差与零点选取无关，例如同轴电缆两导体间的电压 λ/(2πε₀)·ln(b/a)。

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