# GPS 定位原理演示 - 伪距定位、DOP 精度因子、相对论钟差、RTK

> 拖动卫星和接收机看伪距定位怎么解出位置和钟差，为什么要 4 颗卫星；星座动画、DOP、相对论每天 38 微秒的钟差和厘米级 RTK 原理。

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在二维示意世界里拖动卫星和接收机：伪距中包含接收机钟差，原始距离圆交不到一点，用高斯–牛顿最小二乘把位置和钟差一起解出来后，圆就交在一起了，这正是三维需要 4 颗卫星的原因。星座页按 6 个轨道面、24 颗卫星的理想星座动画演示任意地点的可见卫星、天空图和 GDOP/PDOP/HDOP，并用 200 次带噪声定位验证「误差 ≈ DOP × UERE」。另有相对论钟差（狭义 −7 μs/天、广义 +45 μs/天）和误差预算与 RTK 厘米级定位的计算。

## 使用步骤

1. 在「伪距定位」拖动卫星或接收机，调钟差和噪声，比较解钟差与不解钟差的结果
2. 切换「几何好 / 几何差」预设，看 HDOP 和预期误差怎么变
3. 在「星座与 DOP」设定纬度、经度和截止高度角，播放星座动画，读天空图和 DOP
4. 在「相对论钟差」和「误差与 RTK」里调轨道高度、定位方式和基线长度

## 功能特点

- 可拖动的二维伪距定位，显示原始伪距圆、扣除钟差后的距离圆和高斯–牛顿迭代路径
- 理想 GPS 星座的三维动画，任意地点的可见卫星、天空图、信号传播时间
- 由几何矩阵 (HᵀH)⁻¹ 计算 GDOP、PDOP、HDOP、VDOP、TDOP，附蒙特卡罗散点验证
- 狭义与广义相对论钟差、出厂频率偏置 10.22999999543 MHz、偏心率修正项
- 单频、双频、差分和 RTK 的误差预算对比，载波波长与整周模糊度讲解

## 常见问题

### 为什么 GPS 需要至少 4 颗卫星？

接收机用便宜的石英钟，和卫星原子钟之间有未知的钟差 δt。每颗卫星给出一个伪距方程 ρ = |s − x| + c·δt，未知数是 x、y、z 和 δt 共 4 个，所以至少要 4 颗卫星。1 微秒的钟差对应 300 米的距离误差，钟差不解掉就无法定位。解出来以后，接收机还顺便得到了精确到几十纳秒的时间，这也是 GPS 授时的原理。

### DOP 是什么？为什么卫星扎堆时定位差？

DOP（精度因子）描述卫星几何对误差的放大作用：位置误差 ≈ DOP × 伪距误差。它来自几何矩阵 G = (HᵀH)⁻¹，H 的每行是指向卫星的单位矢量加一列 1。卫星分散在天空各处时，各方向都有约束，DOP 小；挤在一小片天空时，距离圆几乎平行相交，沿某个方向很难分辨，DOP 就会变大。HDOP 在 1 左右算好，大于 5 就比较差。

### 相对论对 GPS 有多大影响？

GPS 卫星以约 3.9 km/s 运动，狭义相对论让它的钟每天慢约 7 微秒；它所在处引力势比地面高，广义相对论让钟每天快约 45 微秒，净效应每天快约 38 微秒。光每微秒走 300 米，如果不修正，定位误差每天累积约 11 公里。所以卫星钟在发射前就把 10.23 MHz 调低到约 10.22999999543 MHz，接收机再修正轨道偏心带来的周期项。

### 手机 GPS 为什么只有几米精度，RTK 怎么做到厘米级？

单频民用接收机的主要误差是电离层延迟、多路径反射、卫星钟和星历误差，合起来伪距误差约 5 米，乘上 DOP 就是几米的水平误差。双频接收可以消掉大部分电离层误差。RTK 用 19 厘米波长的载波相位代替码伪距，相位能测到约 1% 周，再借助附近基站做差分，把共同的卫星、大气误差抵消，解出整周模糊度后就能达到 1–2 厘米。

### 这里的星座和误差数值是真实的吗？

星座是理想化的：6 个轨道面、倾角 55°、每面 4 颗等间隔、周期半个恒星日，真实星座有 31 颗左右且间隔不均匀，因此可见卫星数和 DOP 只是代表性的。误差预算用的是教科书上的典型 1σ 量级，真实数值随太阳活动、环境和接收机而变化。物理关系（伪距方程、DOP 定义、相对论公式）是准确的。

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