# 陀螺与进动模拟 - 章动、睡眠陀螺、陀螺仪 3D 动画

> 对称重陀螺 3D 模拟：RK4 积分刚体方程，展示进动与章动（尖点、波浪、打圈）、睡眠陀螺临界转速、支架陀螺仪与绳吊自行车轮，可拖动视角。

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设定自转角速度、初始倾角、初始进动速度和陀螺的质量、转动惯量，就能在可拖动旋转的 3D 视图里看到陀螺进动和章动，轴端在球面上画出尖点、波浪或打圈的轨迹，角动量 L 和重力矩 τ 实时显示。工具同时给出稳定进动的精确解、快陀螺近似、睡眠陀螺临界转速，以及模拟得到的平均进动角速度、章动周期和能量、L_z、L₃ 的守恒检查。

## 使用步骤

1. 选一个预设：玩具陀螺的几种章动轨迹、睡眠陀螺、支架上的陀螺仪或绳吊自行车轮
2. 调自转 ω₃、初始倾角 θ₀ 和初始进动 φ̇₀，或在右侧改质量、ℓ、I₁、I₃
3. 点「播放」，在画布上拖动换视角，观察 L、τ 和轴端轨迹
4. 对照结果表里的稳定进动解、快陀螺近似和模拟值，以及 θ(t)、φ̇(t) 曲线

## 功能特点

- 对称重陀螺的完整刚体动力学，RK4 积分，竖直附近无奇点
- 可拖动旋转的透视 3D 视图，盘面标记显示自转，轴端轨迹显示进动与章动
- 角动量、重力矩、角速度矢量和重力实时绘制
- 稳定进动两个根、快陀螺近似 Mgℓ/(I₃ω₃) 与模拟平均进动对比
- 睡眠陀螺条件 ω₃² > 4MgℓI₁/I₃² 判断与演示
- 能量、L_z、L₃ 守恒漂移读数，θ(t) 与 φ̇(t) 曲线

## 常见问题

### 陀螺为什么不倒，而是绕着竖直方向转圈？

重力对支点产生的力矩 τ = ℓê₃ × (−Mg ẑ) 总是水平的，并且垂直于转轴。转得快的陀螺角动量 L 几乎沿着轴，力矩只改变 L 的方向而不改变大小，于是 L 的尖端在水平方向上绕圈，这就是进动。快陀螺的进动角速度近似 Ω = Mgℓ/(I₃ω₃)，转得越快进动越慢。

### 章动是什么？为什么轨迹会出现尖点、波浪或打圈？

如果初始进动速度不恰好等于稳定进动的值，轴在进动的同时还会上下点头，这就是章动，θ 在两个值之间来回振荡。从静止松手（φ̇₀ = 0）时轴端在最高点瞬间停住，画出尖点；初始进动比稳定值小但同向时画出波浪；初始进动方向相反时画出小圈。陀螺转得越快，章动越快、幅度越小，肉眼几乎看不出来。

### 什么是睡眠陀螺？

竖直旋转的陀螺看起来一动不动，像睡着了一样。线性稳定性分析给出条件 ω₃² > 4MgℓI₁/I₃²：转速高于临界值时，小扰动只会引起小幅摆动；摩擦让转速降到临界以下后，陀螺开始大幅摇摆并倒下。预设里对比了同一个陀螺在临界转速上下的两种表现。

### 这个模拟是怎么算的，准确吗？

物理模型是定点对称重陀螺，拉格朗日量 L = ½I₁(θ̇² + φ̇²sin²θ) + ½I₃(ψ̇ + φ̇cosθ)² − Mgℓcosθ。为避免 θ = 0 处欧拉角的奇点，数值上积分等价的向量方程 dL/dt = τ、dê₃/dt = ω × ê₃，用四阶 Runge–Kutta 和足够小的步长，并与欧拉角方程逐点对比一致。能量、L_z、L₃ 的相对漂移通常小于 10⁻⁹，结果表里可直接看到。忽略了支点摩擦和空气阻力。

### 绳吊自行车轮为什么能水平悬着？

轮轴一端挂在绳上，轮子高速旋转时角动量很大，重力矩只让它在水平面内慢慢进动，不会掉下来。轴水平时（θ = 90°）稳定进动的精确解正好等于 Mgℓ/(I₃ω₃)。按预设的 2 kg 车轮、0.15 m 力臂、每秒 8 转计算，大约 20 秒转一圈；转速减半，进动就快一倍。

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