# 氢原子轨道可视化 - 波函数截面、三维电子云、径向分布

> 在线绘制氢原子精确波函数 ψnlm（n≤7）：截面相位图与节点、三维电子云、径向分布 r²R²、能级与叠加态振荡，支持类氢离子。

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输入量子数 n、l、m，工具用缔合拉盖尔多项式和球谐函数算出氢原子的精确波函数，并画成带相位的截面图、可旋转的三维电子云和径向概率分布 r²R²。还能看能级、类氢离子（He⁺、Li²⁺…），以及两个态叠加后电子云以 ΔE/h 的频率来回晃动、对应的跃迁偶极矩与自发辐射速率。

## 使用步骤

1. 选核电荷 Z（氢或类氢离子）、实轨道或复轨道，再点 n、l、m（或在右侧能级图上点 n）
2. 在“截面图”里换截面与偏移，看 ψ 的正负相位、径向节点圆和角向节点面
3. 切到“三维电子云”拖动旋转，可切掉前半看内部壳层；“径向分布”里读最概然半径与 ⟨r⟩
4. 在“叠加态”里选第二个态并播放，观察电子云振荡、偶极矩箭头和跃迁波长

## 功能特点

- 精确 ψnlm（n ≤ 7），实轨道（pₓ、d_xy…）与复轨道（m 确定）两种形式
- 截面热图：相位上色、自动标出径向与角向节点、指针处读 |ψ|²
- 三维电子云按真实分布逐点抽样，可旋转、可剖开看内部
- 径向分布图标出最概然半径、⟨r⟩、a₀ 与节点，可同 n 对比所有 l
- 叠加态动画 + 跃迁偶极矩、选择定则、自发辐射速率（2p→1s 得 6.27×10⁸ s⁻¹）
- 列出能量、简并度、节点数、⟨r⟩、√⟨r²⟩、|L|、L_z、宇称等

## 常见问题

### 实轨道和复轨道有什么区别？

复轨道 ψnlm 有确定的磁量子数 m（L_z = mħ），|ψ|² 绕 z 轴旋转对称，相位沿方位角 e^{imφ} 转动。化学书上的 pₓ、p_y、d_xy 等实轨道是 +m 与 −m 两个复轨道的线性组合，形状呈哑铃、四叶草，但 L_z 不再确定。两者能量完全相同。

### 径向节点和角向节点怎么数？

径向节点（ψ = 0 的球面）有 n − l − 1 个，角向节点（平面或圆锥面）有 l 个，总数 n − 1。例如 3s 有 2 个径向节点，3p 有 1 个径向节点和 1 个节面，3d 没有径向节点但有 2 个角向节面（d_z² 的是两个圆锥）。截面图中白线就是节点。

### 最概然半径为什么不等于平均半径？

径向概率分布 P(r) = r²R² 不对称，有一条长尾，所以平均值 ⟨r⟩ = a₀(3n² − l(l+1))/(2Z) 比峰值位置大。1s 的最概然半径恰好是玻尔半径 a₀ = 52.9 pm，而 ⟨r⟩ = 1.5 a₀。

### 叠加态为什么会振荡？

两个能量不同的定态叠加后，交叉项带有因子 e^{−iΔEt/ħ}，电子密度以周期 h/ΔE 来回晃动。若 Δl = ±1，晃动产生振荡电偶极矩，会以波长 hc/ΔE 辐射光子，这就是原子发光的半经典图像；1s 与 2s 叠加只会“呼吸”不辐射。同一 n 的态能量简并，叠加后不随时间变化。

### 和光谱、电子排布工具有什么分工？

本工具关注单电子波函数的形状与性质。完整的谱线系、里德伯公式和光电效应请用“原子光谱”工具；多电子原子的电子排布、轨道框图请用“电子排布”工具；分子的成键请看“分子轨道能级图”。

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