# 伊辛模型模拟 - 二维铁磁相变、昂萨格精确解、Wolff 团簇蒙特卡洛

> 在线二维伊辛模型：Metropolis 与 Wolff 蒙特卡洛实时演示自旋畴，测能量、磁化、比热、磁化率，温度扫描对照昂萨格精确解，含磁滞回线与淬火粗化。

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在 32×32 到 256×256 的周期性方格上实时运行伊辛模型：自旋图像每帧刷新，可以直接看到高温下的随机噪点、临界点附近分形般的大团簇和低温下的整片磁畴。工具同时测量能量、磁化强度、比热、磁化率和宾德累积量，并与昂萨格精确解逐点对照；另有温度扫描、外场磁滞回线、淬火粗化与慢速退火、反铁磁耦合等演示。

## 使用步骤

1. 选择晶格尺寸、算法（Metropolis 或 Wolff）和铁磁/反铁磁耦合，点「运行」
2. 拖动温度滑块，或点「T = T_c」停在临界点，观察磁畴与各项测量的运行平均
3. 在「温度扫描」页设定温度范围与每点扫描次数，得到 ⟨|m|⟩、C、χ、e 随 T 的曲线并与精确解对比
4. 在「磁滞回线」页固定低温扫外场 h，读出矫顽场与剩磁；在「淬火与退火」页观察畴尺寸 ℓ ∝ t^{1/2} 的粗化

## 功能特点

- Metropolis 单点翻转与 Wolff 团簇算法一键切换，可高亮刚翻转的团簇
- 实时测量 e、|m|、C、χ、U₄，并给出昂萨格精确 m(T)、u(T)、C(T)
- 温度扫描自动热化与测量，绘制相变曲线并标出 T_c ≈ 2.269
- 外场磁滞回线、淬火后的畴粗化（log–log 拟合斜率）与慢速退火
- 反铁磁 J < 0 与交错磁化，可按交错自旋着色看反铁磁畴
- 在晶格上拖动直接「画」自旋，做自己的初始条件

## 常见问题

### 为什么临界温度是 2.269？

对二维方格、只有最近邻相互作用的伊辛模型，昂萨格在 1944 年严格求出了自由能，相变点满足 sinh(2J/k_BT_c) = 1，即 k_BT_c/J = 2/ln(1+√2) ≈ 2.269。高于它热涨落占上风，自发磁化为零；低于它出现非零自发磁化 m = (1 − sinh⁻⁴(2J/k_BT))^{1/8}。临界指数 β = 1/8 与平均场的 1/2 完全不同，这正是二维伊辛模型的著名之处。

### Metropolis 和 Wolff 算法有什么区别？

Metropolis 每次只尝试翻一个自旋，按 min(1, e^{−ΔE/T}) 接受，最接近真实的局域动力学，所以淬火粗化这类演示必须用它。缺点是在 T_c 附近团簇巨大、关联时间按 L^{2.17} 暴涨（临界慢化）。Wolff 算法按概率 p = 1 − e^{−2J/T} 把同向邻居连成团簇再整体翻转，几乎消除了临界慢化，做温度扫描时同样的扫描次数下统计误差小得多，但它的「时间」不对应物理动力学。

### 为什么模拟出来的磁化在 T_c 以上不为零、比热峰比精确解低？

这是有限尺寸效应。精确解对应无限大晶格，有限的 L×L 晶格在 T_c 附近的关联长度被晶格尺寸截断，|m| 的平均值即使在高温也约为 1/√N 量级，比热和磁化率的发散被抹平成有限高的峰，峰的位置也略偏高。把晶格调大、测量扫描次数加多，曲线会逐渐逼近精确解；在不同 L 下宾德累积量 U₄ 曲线的交点可以用来精确估计 T_c。

### 比热和磁化率是怎么从模拟里算出来的？

用涨落–耗散关系：比热 C = N(⟨e²⟩ − ⟨e⟩²)/T²，磁化率 χ = N(⟨m²⟩ − ⟨|m|⟩²)/T，其中 e、m 是每自旋的能量和磁化，尖括号是对许多次扫描的运行平均。改变温度、外场或耦合后平均会自动清空，并先丢掉 20 次扫描让系统热化。

### 反铁磁和外场的选项能演示什么？

J < 0 时相邻自旋倾向反向，基态是棋盘格。在零场下它和铁磁模型完全等价（把一半格点翻转即可），所以序参量换成交错磁化 m_s，其温度曲线同样遵循昂萨格解；勾选「按交错自旋着色」能看到反铁磁畴。外场 h 打破上下对称：在 T < T_c 时扫描 h 会得到磁滞回线，回线宽度随温度降低和扫描加快而变大，体现了亚稳态和成核。

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