# 拉格朗日点模拟器 - 限制性三体问题、有效势、零速度曲线

> 拉格朗日点在线模拟：计算日地、地月、日木系统 L1–L5 的位置与距离，画有效势与零速度曲线，点击发射粒子看蝌蚪与马蹄形轨道。

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- 最后更新: 2026-10-29
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选择太阳–地球、地球–月球、太阳–木星等系统（或自定义质量比 μ），工具用牛顿法解五次方程求出 L1、L2、L3 的精确位置，并给出各点到两个天体的实际距离和雅可比常数。背景是旋转坐标系中的有效势热图与等势线，红线是所选雅可比常数的零速度曲线，暗区是粒子到不了的禁区。在画布上单击或拖动可以发射试验粒子，含科里奥利力的运动方程用自适应步长积分；内置蝌蚪轨道、马蹄形轨道、L1/L2 周期轨道和特洛伊小行星群演示。

## 使用步骤

1. 选择天体系统，或选「自定义 μ」拖动质量比滑块
2. 看表格里 L1–L5 的坐标、距离、雅可比常数和线性稳定性
3. 拖动雅可比常数滑块或点 C_L1…C_L4，观察零速度曲线在各临界值处如何打开通道
4. 单击画布静止释放粒子，或按住拖动给初速度；也可以直接运行演示

## 功能特点

- 五次方程数值求解 L1/L2/L3，L4/L5 为等边三角形点，附实际距离（km）
- 有效势热图、等势线、临界等势线与零速度曲线，禁区阴影
- 旋转系试验粒子积分（含科里奥利项），Dormand–Prince 自适应步长，显示雅可比常数漂移
- 演示：蝌蚪轨道、马蹄形轨道、L1/L2 李雅普诺夫周期轨道、特洛伊小行星群
- 线性稳定性特征值与 Routh 判据 μ < 0.03852
- SOHO、JWST、鹊桥、Lucy 等真实任务说明

## 常见问题

### 拉格朗日点是什么？

两个天体互相绕转时，在随它们一起转动的坐标系里有五个点，引力与离心力恰好平衡，小物体放在那里可以相对两天体保持静止。L1、L2、L3 在两天体连线上，L4、L5 与两天体构成等边三角形。日地 L1、L2 分别在地球向阳和背阳方向约 150 万 km 处。

### 为什么 L1/L2/L3 不稳定，L4/L5 却能稳定？

共线点是有效势能的鞍点，沿连线方向一推就会越跑越远，所以 SOHO、JWST 这类卫星需要定期点火维持轨道。L4、L5 是有效势能的极大值，本来也不稳定，但科里奥利力会把偏离的物体拐回来，使它绕 L4/L5 振荡。前提是满足 Routh 判据 μ < 0.03852，即大天体至少比小天体重约 25 倍；日木、地月都满足，冥王星–卡戎不满足。

### 零速度曲线和雅可比常数有什么用？

在旋转系中能量不守恒，但雅可比积分 C = 2Ω − v² 守恒。由于 v² ≥ 0，粒子只能待在 2Ω ≥ C 的区域，边界就是零速度曲线。C 大于 C_L1 时，绕小天体的粒子被关在一个“泡”里出不去；C 降到 C_L1 时 L1 处开口，物质可以在两天体之间流动；继续降到 C_L2、C_L3，通道依次打开。双星间的物质交换就是这样发生的。

### 蝌蚪轨道和马蹄形轨道是怎么回事？

在 L4 附近稍微偏离，粒子会绕 L4 做慢速天平动，在旋转系中轨迹像一只蝌蚪；偏离再大一些，轨迹会绕过 L3 同时包住 L4 和 L5，形状像马蹄。土星的卫星 Janus 和 Epimetheus 就在互相交换的马蹄形轨道上，地球也有处在马蹄形轨道上的近地小行星。

### 演示里的“晕轨道”为什么只是平面版？

真正的晕轨道是三维的，需要垂直于轨道面的分量。本工具是平面模型，所以计算的是对应的平面李雅普诺夫轨道：用微分修正找到穿过 x 轴时速度垂直的对称周期解。由于 L1/L2 不稳定，舍入误差会被指数放大，粒子几圈后就会离开，真实航天器也需要定期轨道维持。

## 相关工具

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