# 简正模式与晶格振动 - 弹簧质点链、色散关系、声学支光学支

> 质点–弹簧链简正模在线计算：1–30 个质点，固定/自由/周期边界，模形动画与叠加分解，色散关系、双原子链声学支光学支与带隙，波包群速度。

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由 1 到 30 个质点和弹簧组成的一维链，用对称矩阵的 Jacobi 特征分解求出全部简正模的频率与模形，可以单独播放某个模，也可以拖动质点设一个初始形状，看它如何分解成各个模的叠加。色散关系页把每个模画在 ω(k) 曲线上，双原子链会分出声学支和光学支，中间是带隙；波包页在 300 个质点的长链上演示群速度与相速度的区别。

## 使用步骤

1. 设置质点数、边界条件（固定、自由、周期）、弹簧劲度和质量，可勾选双原子链
2. 在「单个简正模」下拖动滑块逐个查看模形和频率，横波/纵波两种显示
3. 切到叠加模式，拖动质点或选「拨弦」等初始形状，看各模振幅柱状图和运动
4. 在「色散关系」页看模点落在 ω(k) 曲线上，在「波包」页调 k₀ 比较群速度与相速度

## 功能特点

- 自己实现的循环 Jacobi 特征分解，支持不等质量（质量加权对称化）
- 固定、自由、周期三种边界，纵波与横波两种显示
- 拖动质点设初位移，实时分解成模坐标，显示振幅与能量占比
- 单原子与双原子色散曲线，声学支、光学支与带隙，模点叠加在曲线上
- 300 质点长链波包直接积分，实测包络速度与理论群速度对比

## 常见问题

### 什么是简正模？

耦合振动系统里存在一些特殊的振动方式：所有质点以同一个频率、按固定的相对振幅同步振动，这就是简正模。N 个质点的链有 N 个简正模，任意的振动都可以写成这些模的叠加，每个模独立地以自己的频率振动。数学上它们就是动力学矩阵 M^{-1/2}KM^{-1/2} 的特征向量，特征值是 ω²。

### 为什么色散关系 ω(k) 不是直线？

连续弹性介质中 ω = ck，各频率传播速度相同；离散的质点链在波长接近格点间距时，相邻质点反向运动，频率被限制在 2√(K/m) 以下，于是 ω = 2√(K/m)|sin(ka/2)| 弯下来。长波极限 ka ≪ 1 时才回到线性关系，声速为 a√(K/m)。

### 双原子链为什么会出现带隙？

两种质量交替排列时，一个晶胞里有两个自由度，色散关系分成两支：低频的声学支（相邻质点同向运动）和高频的光学支（同一晶胞内的两个质点反向运动）。在布里渊区边界，声学支最高到 √(2K/m_重)，光学支最低到 √(2K/m_轻)，二者之间的频率不能在链中传播，这就是带隙。质量相同时带隙闭合。

### 群速度和相速度有什么区别？

相速度 v_p = ω/k 是单个波峰移动的速度，群速度 v_g = dω/dk 是波包包络（也就是能量和信息）移动的速度。在质点链上 v_g = a√(K/m)cos(ka/2) 小于 v_p，k 越接近布里渊区边界 π/a，群速度越接近 0——那里是驻波。在波包页能看到波峰在包络中向前滑动。

### 自由端和周期边界下为什么有 ω = 0 的模？

两端都不固定时，整条链一起平移不会拉伸任何弹簧，没有恢复力，所以对应频率为 0 的"刚体平移模"。周期边界下还会出现成对的简并频率，对应向左和向右传播的两个行波（±k）。

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