# 密立根油滴实验 - 平衡法、动态法测元电荷 e，电荷直方图

> 在线密立根油滴实验：显微镜视场中调平衡电压、用秒表计时，平衡法与动态法算油滴半径和电荷，含坎宁安修正、布朗运动和求元电荷 e。

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模拟大学物理实验中的密立根油滴仪：从显微镜目镜里看到带分划板的视场，喷入的油滴半径和所带电子数都是随机的。你可以像做实验一样调节平衡电压让油滴悬停，切到“下落”档用秒表测它匀速下落一段距离的时间，用“提升”档把它拉回视场，然后用平衡法或动态法公式算出半径和电荷。还能用 X 射线照射改变油滴的电荷，收集多颗油滴后画电荷直方图，用最大公约数扫描找出元电荷 e。

## 使用步骤

1. 点“观察”，在视场中点选一颗油滴，用“平衡”档调电压 U 让它基本静止
2. 切到“下落”，在油滴越过黄色计时线时开始、结束计时（或打开自动计时），得到 t_g
3. 点“记录（平衡法）”；若要用动态法，再用“提升”档测上升时间 t_e
4. 换油滴或用 X 射线改变电荷，多测几颗，也可以“快速采集 20 颗”
5. 查看电荷直方图和 S(e) 扫描，得到元电荷 e 及与公认值的偏差

## 功能特点

- 目镜视场带 0.25 mm 分划板，油滴按斯托克斯定律下落，含坎宁安滑移修正和真实量级的布朗运动
- 平衡、提升、下落三档电压，手动秒表或自动过线计时
- 平衡法与动态法两套教材公式，可选是否加坎宁安修正，体会系统误差
- X 射线电离改变所选油滴电荷，观察平衡电压跳变
- 电荷直方图、S(e) = ⟨sin²(πq/e)⟩ 最大公约数扫描，自动定出每颗油滴的 n 和 e
- 可显示油滴真实半径、电荷与平衡电压，便于核对

## 常见问题

### 平衡法测油滴电荷的原理是什么？

先让油滴在电场中静止，此时 qU/d = mg；再撤去电压让它下落，空气阻力很快与重力平衡，油滴匀速下落，由斯托克斯定律 mg = 6πηav_g 求出半径 a = √(9ηv_g/2ρg)，从而得到质量 m = (4/3)πa³ρ。合起来就是教材公式 q = 18π/√(2ρg)·[ηl/(t_g(1 + b/pa))]^{3/2}·d/U，只需测平衡电压 U 和下落时间 t_g。

### 动态法和平衡法有什么不同？

动态法不要求油滴完全静止，而是加一个较大的电压让油滴匀速上升，测上升时间 t_e：qU/d − mg = 6πηav_e。与下落时的 mg = 6πηav_g 联立得 q = (mgd/U)(v_g + v_e)/v_g。它避免了“平衡电压调不准”的问题，但要多测一个时间。

### 为什么要加坎宁安修正？

油滴半径只有约 1 µm，与空气分子平均自由程（约 0.07 µm）相差不大，空气不再是连续介质，实际阻力比斯托克斯公式小，相当于黏度变成 η/(1 + b/pa)。不修正会把电荷算大几个百分点。在工具里取消勾选“加坎宁安修正”，同一组数据算出的 e 会明显偏大。

### 怎样从一组电荷求出元电荷 e？

所有电荷都应是 e 的整数倍。常用做法是先估一个 e，把每个 q 除以它取整得到 n，再用 e = Σqn/Σn² 或 q/n 的平均值求 e。工具画出 S(e) = ⟨sin²(πq/e)⟩，它在 e 的整数分之一处都有极小，取拟合得好的最大那个。电荷越大，n 越难确定，因此实验要选电荷少（平衡电压较高）的油滴。

### 实验中应该选什么样的油滴？

太大的油滴下落太快，计时误差大，且通常带电多；太小的油滴布朗运动明显、下落太慢。一般选平衡电压 200 V 左右、下落 1.5 mm 用 10–30 s 的油滴。工具里可以打开“显示真实参数”看布朗扩散的大小，体会小油滴为什么难测。

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