# 单摆波模拟 - 摆长计算、行进波与重新对齐、DIY 制作清单

> 在线单摆波（pendulum wave）模拟：N 个摆按 L = g(Γ/2π(N₀+k))² 取摆长，3D 动画显示蛇形、两排三排与重新对齐，附大角度效应和 DIY 摆长表。

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- 最后更新: 2026-10-29
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单摆波由一排摆长逐渐变短的单摆组成：第 k 个摆在整体周期 Γ 内恰好摆 N₀+k 次。同时放开后，它们会依次呈现蛇形行进波、分成两排三排交替、看似混乱，最后在 Γ 时刻重新排成一条直线。这里可以调摆数、Γ、N₀、摆角和阻尼，切换透视、俯视、端视三个角度，拖动时间轴跳到 Γ/2、Γ/3 等特殊时刻；打开精确大角度模式还能看到真实制作中对齐为何被破坏，并生成可直接用来做实物的摆长清单。

## 使用步骤

1. 选一个预设（经典 15 摆 / 60 s）或设置摆数 N、整体周期 Γ 和 N₀
2. 点“播放”观看，或拖动时间轴、点 Γ/2、Γ/3 等按钮跳到特殊时刻
3. 在透视图上拖动旋转视角，或切换俯视看蛇形曲线
4. 勾选精确大角度并选择木板释放，比较 Γ 时刻能否重新对齐
5. 在 DIY 制作清单里输入摆球直径，复制摆长、绳长和允许误差表

## 功能特点

- 按 L_k = g(Γ/(2π(N₀+k)))² 自动计算每个摆的摆长和周期
- 透视（可拖动旋转）、俯视、端视三种视图的流畅动画
- 时间轴可拖动，标出 Γ/4、Γ/3、Γ/2 等图案时刻并自动注释
- 小角近似解析解与 sin θ 精确 RK4 积分，可加阻尼
- 同角释放与木板释放两种方式，显示相位离散度与重新对齐时刻
- DIY 摆长表：厘米单位、绳长、大角修正与长度允许误差，可复制 CSV

## 常见问题

### 单摆波的摆长是怎么确定的？

让第 k 个摆在时间 Γ 内恰好摆动 N₀+k 次，它的周期就是 Γ/(N₀+k)。由单摆周期 T = 2π√(L/g) 反推得 L_k = g(Γ/(2π(N₀+k)))²。经典的 15 摆装置取 Γ = 60 s、N₀ = 51，最长摆约 34.4 cm，最短约 21.2 cm。

### 为什么会出现两排、三排的图案？

各摆之间没有耦合，相邻两摆的频率差是 1/Γ，所以 t 时刻相邻摆的相位差是 2πt/Γ。t = Γ/2 时相邻摆反相，奇数号和偶数号各成一排；t = Γ/3 时按 k mod 3 分成三组；t = Γ 时相位差变成 2π 的整数倍，所有摆重新对齐。在不是简单分数的时刻，相位差看上去杂乱无章。

### 摆角大了为什么对不齐？

单摆的周期随振幅增大而变长，约为 T₀(1 + θ₀²/16)。如果每个摆的角度都一样，所有周期按同一倍数变长，只是对齐时刻推迟。但实际制作常用木板把摆球推到同一水平位置，短摆的摆角更大、周期变长更多，各摆周期之比不再精确，Γ 时刻就排不成一条线了。摆角控制在 10° 以内时影响可以忽略。

### 自己做一个单摆波需要多精确？

如果某个摆长差 δL，它在 Γ 内累积的相位误差约为 (N₀+k)·δL/(2L) 圈。以经典参数为例，要让误差小于 0.1 圈，摆长误差需控制在约 1 mm 以内。建议用 V 形双线悬挂防止摆面转动，以悬点到球心的竖直距离为摆长，并用工具里的表逐一校准。

## 相关工具

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