# 量子统计 - 费米-狄拉克、玻色-爱因斯坦分布、费米能、BEC、德拜比热

> 对比麦克斯韦-玻尔兹曼、费米-狄拉克、玻色-爱因斯坦分布，能级粒子动画；计算金属费米能、玻色-爱因斯坦凝聚温度和爱因斯坦/德拜固体比热。

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调节温度和化学势，同一张图里比较 MB、FD、BE 三种平均占据数；下方的能级动画用蒙特卡罗演示费米子一态一个、玻色子扎堆到基态，并与精确的正则系综结果对照。其余三页分别计算金属自由电子气的费米能、费米温度和费米速度（附金属表与 g(ε)f(ε) 图），玻色-爱因斯坦凝聚的临界温度与凝聚分数（铷-87 等预设），以及固体热容的杜隆-珀蒂、爱因斯坦、德拜曲线与低温 T³ 律，并给出光子气的能量密度和光子数密度。

## 使用步骤

1. 在“三种分布”页拖动 kT 和 μ，观察三条曲线何时重合（经典极限）
2. 运行能级动画，改变粒子数和温度，看费米子与玻色子的占据差别
3. 在“金属中的电子气”页选金属或输入电子密度，读出 E_F、T_F、v_F，并改温度看费米面附近的热激发
4. 在 BEC 页选原子和密度得到 T_c，在固体页选材料对比德拜与爱因斯坦热容

## 功能特点

- MB / FD / BE 占据数曲线，可切换对数纵轴
- 能级 Metropolis 蒙特卡罗动画，对照固定粒子数的精确正则平均
- 自由电子气：费米能、费米温度、费米速度、简并压、电子比热，常见金属表
- 有限温度化学势数值求解与 g(ε)f(ε) 面积图
- BEC 临界温度、热德布罗意波长、相空间密度、凝聚分数（均匀气体与谐振阱）
- 德拜温度表、Einstein / Debye / T³ 律热容曲线与光子气计算

## 常见问题

### 三种分布的区别是什么？

平均占据数都是 1/(e^((ε−μ)/kT) + a)：经典 MB 相当于 a = 0（即 e^(−(ε−μ)/kT)），费米子 a = +1，玻色子 a = −1。+1 保证每个态最多一个粒子（泡利不相容原理），−1 让玻色子在 ε 接近 μ 时占据数趋于无穷，倾向扎堆。当 ε − μ 比 kT 大很多时三者几乎相同，这就是经典极限，例如常温稀薄气体。

### 铜的费米能 7 eV 意味着什么？

铜每立方米约有 8.47×10²⁸ 个传导电子，按自由电子模型 E_F = ħ²(3π²n)^{2/3}/2m ≈ 7.0 eV，对应费米温度约 8.2 万 K，费米速度约 1.6×10⁶ m/s。也就是说，即使在绝对零度，最快的电子也以光速的约 0.5% 运动；室温 kT ≈ 0.026 eV 远小于 E_F，所以电子气高度简并，只有费米面附近很薄的一层能被热激发。

### 为什么金属中电子对比热的贡献很小？

按经典能量均分，每个自由电子应贡献 (3/2)k 的热容。但由于泡利原理，只有能量在 E_F 附近约 kT 范围内的电子能吸收热量，占比约 T/T_F。精确结果是 C_el = (π²/2)(T/T_F)R，室温下铜只有经典值的约 0.6%，所以金属的热容主要来自晶格振动，只有在几 K 的低温下电子部分（∝ T）才超过声子部分（∝ T³）。

### 玻色-爱因斯坦凝聚的临界温度怎么算？

对均匀的理想玻色气体，T_c = (2πħ²/mk)(n/2.612)^{2/3}，等价于相空间密度 nλ³ 达到 ζ(3/2) ≈ 2.612，λ 是热德布罗意波长。铷-87 在约 3×10¹⁹ m⁻³ 的密度下 T_c 约 170 nK，与 1995 年 JILA 的实验同一量级。原子囚禁在谐振势阱中时用 T_c ≈ 0.94ħω̄N^{1/3}/k，凝聚分数按 1 − (T/T_c)³ 变化。

### 德拜模型和爱因斯坦模型哪个更准？

两者在高温都趋于杜隆-珀蒂值 3R。爱因斯坦模型假设所有原子以同一频率振动，低温下热容按指数衰减，下降得太快；德拜模型把晶格振动看成具有截止频率的声子气，低温给出 C = (12π⁴/5)R(T/θ_D)³，与绝缘体实验符合得很好。实际材料的声子谱介于两者之间，德拜温度也会随温度略有变化。

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