# 火箭方程计算器与发射模拟 - 齐奥尔科夫斯基公式、多级火箭、Δv 预算

> 在线火箭方程计算器：由比冲和质量比算 Δv，设计多级火箭，对照入轨 Δv 预算，并在圆地球上模拟重力转弯发射与 Max-Q。

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输入比冲（或喷气速度）和起飞、燃尽质量，立刻算出火箭的速度增量 Δv，也可以反过来求所需比冲或质量。多级火箭页预置了猎鹰 9、土星五号和长征五号的近似参数，逐级给出 Δv、推重比和燃烧时间，并与近地轨道、地球同步转移、奔月、火星转移等 Δv 预算对照。发射模拟在真实比例的圆地球上用 RK4 积分推力、引力和指数大气阻力，画出高度、速度、动压和过载曲线，判断能否入轨。

## 使用步骤

1. 在「火箭方程」页选择要求解的量，填入其余三个，或从发动机预设里挑一个比冲
2. 在「多级火箭」页选一个火箭预设，或自己填写每一级的推进剂、干重、比冲和推力
3. 查看每级 Δv、推重比、燃烧时间，以及总 Δv 够不够去 LEO、GTO、月球或火星
4. 切到「发射模拟」，调整转弯踢角和目标轨道高度，或点「自动寻找入轨踢角」，再播放发射过程

## 功能特点

- 齐奥尔科夫斯基方程四个量任意求解，附十种常见发动机比冲预设
- 最多四级串联火箭：逐级 Δv、推重比、燃烧时间与起飞质量
- Δv 预算条：LEO、GTO、GEO、奔月、火星转移、地球逃逸一目了然
- 二维圆地球发射模拟：推力、引力、指数大气阻力、地球自转，RK4 积分
- 高度、速度、动压（标出 Max-Q）、过载曲线，以及近地点、远地点和剩余 Δv
- 重力转弯与上面级闭环制导，可自动搜索能入轨的踢角

## 常见问题

### 齐奥尔科夫斯基火箭方程说的是什么？

Δv = v_e ln(m₀/m_f)：火箭能获得的速度增量只取决于喷气速度 v_e（= 比冲 × g₀）和质量比 m₀/m_f，与推力大小、燃烧快慢无关。因为是对数关系，质量比从 5 提到 10 只能让 Δv 增加约 43%，所以想要更多 Δv，要么提高比冲，要么分级抛掉空壳。

### 为什么去近地轨道要约 9.4 km/s，而轨道速度只有 7.8 km/s？

多出来的 1.5–2 km/s 是损失：火箭竖直爬升时一部分推力用来对抗重力（重力损失，通常最大），穿过稠密大气有阻力损失，推力方向与速度不一致还有转向损失。向东发射可借地球自转得到最多约 465 m/s（赤道）。模拟页会给出本次飞行估算的总损失。

### 为什么要多级？单级入轨不行吗？

单级要达到 9.4 km/s，以液氧煤油 v_e ≈ 3 km/s 计，质量比需要 e^(9.4/3) ≈ 23，也就是 96% 的起飞质量是推进剂，结构与载荷只剩 4%，工程上极难。分级后每级燃尽就扔掉自己的储箱和发动机，后面的级不再背着这些死重，总 Δv 等于各级 Δv 之和。

### Max-Q 是什么，为什么重要？

动压 q = ½ρv²，表示气流对箭体的冲击强度。起飞后速度越来越快，但空气越来越稀薄，两者相乘在大约 10–15 km 高度出现最大值，即 Max-Q，一般为 30 kPa 左右。这是结构载荷最大的时刻，很多火箭会在此前后节流降推力。模拟中橙点标出了 Max-Q 的位置。

### 模拟的精度如何？

这是教学模型：二维、圆形无扁率地球、指数大气（标高 8.5 km）、固定阻力系数，各级比冲和推力取常数，没有节流和发动机分组关机。预设火箭参数是公开资料的近似值。它能正确展示重力转弯、分级、Max-Q 和入轨条件的规律，但不能用于真实任务设计。

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