# 卢瑟福 α 粒子散射实验 - 双曲线轨迹、计数与 1/sin⁴(θ/2)

> α 粒子散射实验在线模拟：金箔核式模型的双曲线轨迹与瞄准距离，探测器计数对比卢瑟福公式和汤姆孙模型，由最近距离估算原子核大小。

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重做 1909–1913 年盖革和马斯登的金箔实验：5–8 MeV 的 α 粒子射向金、银、铜或铝箔，按库仑斥力下的精确双曲线轨道偏转。轨迹页可以拖动瞄准距离看散射角和最近距离，也可以发射随机束流，看到绝大多数粒子直穿、极少数被弹回。计数页里转动探测器臂、按泊松统计计数，把计数率画在对数坐标上，与卢瑟福 1/sin⁴(θ/2) 曲线和汤姆孙模型对比。第三页由最近距离给出原子核大小的上限，并定性展示铝在高能时的反常散射。

## 使用步骤

1. 选择金属箔和 α 粒子能量，在“轨迹”页拖动瞄准距离 b，看散射角 θ 与最近距离
2. 切到随机束流，点“发射”，统计偏转大于 10° 和被弹回的比例；再换成汤姆孙模型对比
3. 在“计数”页拖动探测器臂到不同角度计数，或一键测量 15°–150° 一组角度
4. 对照对数坐标图和 (N/t)·sin⁴(θ/2) 一列，检验卢瑟福公式
5. 在“最近距离”页调能量和箔材，看核大小上限和铝的反常偏离

## 功能特点

- 解析双曲线轨道 b = (D/2)cot(θ/2)，按角动量守恒推进动画，标出渐近线与最近距离
- 随机束流统计大角散射比例，汤姆孙均匀正电球模型对照
- 可拖动的探测器臂、闪烁计数动画和泊松统计计数
- 计数率对数图：卢瑟福 1/sin⁴(θ/2) 与汤姆孙多次小角散射高斯分布
- 源强、箔厚、探测器面积和距离可调，给出立体角与期望计数率
- 最近距离 r_min(θ) 曲线、核半径上限、核力反常（定性）

## 常见问题

### α 粒子散射实验说明了什么？

绝大多数 α 粒子几乎不偏转地穿过金箔，说明原子内部大部分是空的；但约八千分之一的粒子偏转超过 90°，甚至被弹回。汤姆孙模型中正电荷分散在整个原子里，电场太弱，无法产生这样的大角度偏转。卢瑟福据此提出核式结构：原子的正电荷和几乎全部质量集中在很小的原子核里。

### 瞄准距离和散射角是什么关系？

在库仑斥力下 α 粒子走双曲线，瞄准距离 b（入射直线到核的垂直距离）与散射角满足 b = (D/2)cot(θ/2)，其中 D = kzZe²/E 是正碰时的最近距离。b 越小偏转越大；金箔、5 MeV 时 D ≈ 45 fm，要偏转 90° 需要 b ≈ 23 fm，而原子半径约 10⁵ fm，所以命中这么小区域的概率极低。

### 卢瑟福散射公式为什么是 1/sin⁴(θ/2)？

散射到 θ 附近的粒子来自 b 到 b + db 的圆环，面积 2πb·db；把 b = (D/2)cot(θ/2) 微分并除以立体角 2π sinθ dθ，得到 dσ/dΩ = (D/4)²/sin⁴(θ/2)。所以计数率随角度急剧下降，15° 与 150° 相差约 5 个数量级。计数还与箔厚成正比、与 Z² 成正比、与 E² 成反比，这些都被实验验证。

### 怎样由散射实验估算原子核大小？

散射角越大，α 粒子离核越近，最近距离 r_min = (D/2)(1 + 1/sin(θ/2))，正碰时等于 D。只要大角度数据仍符合卢瑟福公式，说明 α 粒子在 r_min 处只感受到库仑力，核半径小于 r_min。金箔只能给出约 30–45 fm 的上限；轻核（如铝）用较高能量 α 粒子时大角度数据偏离公式，表明碰到了核力，由此估出核半径为几 fm。

### 汤姆孙模型的预言为什么与实验差那么多？

汤姆孙原子的正电荷均匀分布在半径约 0.1 nm 的球内，α 粒子穿过一个原子最多偏转约 0.01°。穿过金箔要经过上千个原子，随机小偏转叠加后方均根角也只有约 1° 以内，按高斯分布，大于几度的概率就小到可以忽略，大于 90° 的概率小到 10⁻³⁰⁰⁰ 以下。工具计数页切换模型就能看到两条曲线的巨大差别。

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