# 半导体与 PN 结 - 能带图、耗尽区、二极管伏安特性、LED 与太阳能电池

> PN 结在线计算：Si/Ge/GaAs 能带图、内建电势、耗尽区宽度与电场；肖克利二极管 I–V（含串联电阻、击穿）；LED 带隙与波长；太阳能电池 I–V、效率。

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选择硅、锗或砷化镓，设定两侧掺杂浓度、温度和偏压，工具按突变结耗尽近似画出能带弯曲、准费米能级、空间电荷、电场、电势和载流子浓度分布，并给出内建电势、耗尽区宽度、最大电场和结电容。二极管页用肖克利方程并隐式求解串联电阻与反向击穿，线性与对数坐标同时显示；LED 页把带隙换算成发光波长与颜色；太阳能电池页用单二极管模型画出 I–V、P–V 曲线，求开路电压、短路电流、填充因子和效率。

## 使用步骤

1. 在「PN 结能带」页选材料，拖动 N_A、N_D、温度和偏压滑块，观察能带图与各分布曲线的变化
2. 在「二极管 I–V」页选择 1N4148、肖特基、稳压管或各色 LED 预设，调整 I_s、n、R_s、击穿电压与温度，拖动工作点读出电流和动态电阻
3. 在「LED 与带隙」页拖动带隙或波长，查看颜色与常见 LED 的典型正向电压，并计算限流电阻
4. 在「太阳能电池」页选择电池类型，调整辐照度、温度、串并联电阻，读出 V_oc、I_sc、FF、最大功率点和效率

## 功能特点

- Si、Ge、GaAs 材料参数，Varshni 带隙与随温度变化的本征载流子浓度
- 突变 PN 结能带图：E_c、E_v、E_i 与正偏 / 反偏下分裂的准费米能级
- 空间电荷、电场、电势与 n、p 浓度（对数）分布，耗尽区边界标注
- 肖克利二极管 + 串联电阻 + 反向击穿，二分法隐式求解，给出动态电阻与温度系数
- LED 带隙 ↔ 波长 ↔ 颜色换算，常见 LED 表与限流电阻计算
- 太阳能电池单二极管模型：I–V、P–V、最大功率点、填充因子、效率与温度影响

## 常见问题

### 内建电势和耗尽区宽度怎么计算？

在突变结、完全电离的近似下，内建电势 V_bi = (kT/q)·ln(N_A·N_D/n_i²)，硅在 300 K、两侧都是 10¹⁶ cm⁻³ 时约 0.72 V。耗尽区宽度 W = √(2ε(V_bi − V)/q · (1/N_A + 1/N_D))，反偏电压越大越宽，正偏越窄。电荷守恒要求 N_A·x_p = N_D·x_n，所以耗尽区主要伸进掺杂较轻的一侧。

### 能带图里的准费米能级为什么会分开？

平衡时整块材料只有一个费米能级，是一条水平线。加上偏压 V 后，n 区和 p 区的费米能级相差 qV，在耗尽区内电子和空穴各自保持本侧的费米能级，就是电子准费米能级 E_Fn 和空穴准费米能级 E_Fp。两者之差决定了 np = n_i²·e^{qV/kT}：正偏时载流子浓度乘积远大于 n_i²，引起注入电流；反偏时远小于 n_i²。

### 肖克利方程加上串联电阻为什么要「隐式求解」？

有串联电阻时，结上的电压是 V_d = V − I·R_s，而电流又取决于 V_d：I = I_s(e^{V_d/nV_T} − 1)，I 同时出现在等号两边。它没有初等函数解，但可以写成朗伯 W 函数的形式；本工具直接用二分法求 V_d，结电流随 V_d 单调递增，必有唯一解，并且能同时处理反向击穿项。大电流时曲线由指数变为近似直线，斜率就是 1/R_s。

### LED 的颜色和正向电压与带隙有什么关系？

LED 发出的光子能量近似等于半导体带隙：λ = hc/E_g ≈ 1240 nm·eV / E_g。所以红光（≈1.9–2.0 eV）的 AlGaInP LED 正向电压约 2 V，蓝光 InGaN（≈2.7 eV）约 3 V，紫外更高。正向电压通常比 E_g/q 略高，多出来的是串联电阻和接触压降。硅、锗是间接带隙，几乎不发光，所以 LED 用的是 GaAs、GaN 这类直接带隙材料。

### 太阳能电池的填充因子和效率受什么影响？

填充因子 FF = P_max/(V_oc·I_sc) 衡量 I–V 曲线有多「方」。串联电阻会让曲线在最大功率点附近塌下来，并联电阻过小会让平台段倾斜，两者都降低 FF。温度升高时 J₀ 按 T³e^{−E_g/kT} 急剧增大，硅电池 V_oc 每升高 1 °C 约下降 2 mV，效率随之下降。单结电池的理论上限（Shockley–Queisser 极限）约 33.7 %。

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