# 跳伞模拟器 - 终端速度、自由落体时间、开伞过载、平流层跳伞

> 在线跳伞模拟：按标准大气密度积分下落方程，含姿态、开伞过程与跨声速阻力，复现 Baumgartner 超声速一跳，并对比雨滴、冰雹、猫、硬币的终端速度。

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选一个跳伞场景——4000 米单人或双人跳、10 公里高跳低开、Kittinger 31 公里或 Baumgartner 39 公里——工具按随高度变化的空气密度积分下落方程，动画显示下落速度、马赫数、体感过载和高度，并画出速度、高度、过载曲线。可以换趴姿、头朝下、滑翔姿态，调开伞高度和充气时间看开伞冲击。另一页用同一套物理比较雾滴、雨滴、冰雹、乒乓球、硬币、猫和跳伞者的终端速度，并标出斯托克斯、过渡区和平方阻力区。

## 使用步骤

1. 选择跳伞场景或自由落体姿态，按需修改总质量、人体 C_d·A、离机与开伞高度
2. 设置开伞充气时间和伞衣有效 C_d·A，点“播放”观看下落动画，或拖动时间轴逐帧查看
3. 读结果卡片：最大速度与马赫数、达到 95% 终端速度用时、自由落体时间、开伞冲击过载、落地速度
4. 切到“终端速度对比”，改变高度看空气变稀后各物体的终端速度，也可以输入自定义物体

## 功能特点

- ISA 1976 标准大气密度、声速和重力随高度变化，RK4 积分
- 趴姿、头朝下、滑翔姿态、加压服与双人减速伞预设
- 开伞充气过程建模，给出开伞冲击最大过载和落地速度
- Baumgartner、Kittinger 平流层跳伞预设并对照真实记录
- 可选跨声速阻力上升，显示马赫数和当地声速曲线
- 雨滴、冰雹、猫、硬币等终端速度对比，球体按 C_d(Re) 求解并标注阻力区

## 常见问题

### 跳伞的终端速度是多少？多久能达到？

终端速度是重力与空气阻力平衡时的速度：v_t = √(2mg/(ρC_dA))。90 kg 左右的跳伞者趴姿约 55 m/s（约 200 km/h），头朝下可到 80 m/s 以上。由于阻力随速度平方增长，速度越接近 v_t 增长越慢，海平面附近约 10 秒达到 95% 终端速度，下落约 300 多米。高处空气稀薄，同一姿态的终端速度更大，所以 4000 米离机后速度会先冲高一点，再随着空气变稠慢慢降下来。

### Baumgartner 为什么能超声速下落？

他在约 39 km 高空离机，那里的空气密度不到海平面的 0.5%，终端速度可以超过 1000 m/s，阻力几乎拦不住他，前 40 多秒近似自由落体。约 50 秒时他在 27～28 km 高度达到 1357.6 km/h（377 m/s，马赫 1.25）。之后进入越来越稠密的空气，阻力超过重力，他反而在减速，体感过载大于 1 g。工具里的预设用一个固定的有效阻力面积就能复现这个最大速度，但真实跳伞中他曾旋转、换姿态，所以自由落体时间与记录有出入。

### 开伞冲击有多大？

开伞时阻力面积在几秒内从约 0.5 m² 增加到几十平方米，速度从 50 多 m/s 降到 5 m/s 左右，减速度可达数 g。工具把充气过程模型化为 C_dA 按时间平方增长，正常运动伞约 3～5 g、持续一两秒；充气时间越短、开伞速度越快，冲击越大。现代冲压翼伞用滑布（slider）故意减慢张开速度，就是为了把这个峰值压下来。

### 雨滴、冰雹从高空落下来会不会很危险？

终端速度限制了它们的速度：2 mm 雨滴大约 6.5 m/s，大雨滴会被压扁，实测上限约 9 m/s；2 cm 冰雹约 20 m/s，5 cm 的约 30 m/s，后者已经能砸坏车窗。云里的小水滴只有几十微米，雷诺数远小于 1，处于斯托克斯区，阻力与速度成正比，下落速度只有每秒一两厘米，所以能悬浮在空中。猫因为体轻、面积大，终端速度只有约 100 km/h，这也是它们从高楼坠落有时能幸存的原因之一。

### 为什么球体要用 C_d(Re) 而不是固定的阻力系数？

阻力系数取决于雷诺数 Re = ρvd/μ。Re < 1 时是黏性主导的斯托克斯流，C_d = 24/Re，阻力与速度成正比；Re 在 10³～2×10⁵ 之间，C_d 大致稳定在 0.4～0.5，阻力与速度平方成正比。雾滴、毛毛雨、雨滴恰好跨越这几个区间，用固定 C_d 会把小水滴的速度算错好几个数量级，所以工具对球体用 Clift–Gauvin 关联式，并在表里标出所处的阻力区。

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