# 竖直面圆周运动 - 绳杆模型、过山车、转盘、圆锥摆、火车转弯

> 高考圆周运动模型演示：绳模型与杆模型最高点临界速度、脱轨斜抛、过山车 2.5R，转盘临界角速度、圆锥摆、火车转弯和拱桥，分步代数并附随机练习。

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把高考圆周运动的临界问题做成可以调参数的动画：竖直面内的绳模型（含内轨道）、杆模型（含圆管）和从高处滑下的过山车，水平面内的转盘物块、圆锥摆、火车转弯以及汽车过拱桥、凹桥。程序用机械能守恒和牛顿第二定律精确计算每个位置的速度和绳（杆、轨道）的作用力，小球中途脱离时还会模拟脱离点和之后的斜抛轨迹，并写出代入数字的分步分析。

## 使用步骤

1. 选择绳模型、杆模型、过山车、转盘、圆锥摆、火车转弯或拱桥页签
2. 点一个典型题预设，或调节质量、半径、速度、高度、动摩擦因数、倾角等参数
3. 看动画中的受力箭头和 F–θ 图，对照结果卡片和分步分析
4. 到“练习”页做随机生成的圆周运动题，输入答案即时判分

## 功能特点

- 绳模型与杆模型对比：最高点临界速度 √(gR) 与 0，杆力在 √(gR) 处由支持变拉
- 模拟小球在上半圆脱离圆周的位置、速度和之后的斜抛轨迹
- 绳拉力（轨道弹力）随位置变化的 F–θ 图，直观验证 F底 − F顶 = 6mg
- 过山车从高 h 处滑下，判断能否通过最高点（h ≥ 2.5R）
- 转盘一个或两个物块（无绳、同侧绳连、过转轴绳连）的临界角速度与摩擦力–ω 图
- 圆锥摆、光滑碗、火车转弯设计速度与内外轨受力、拱桥凹桥压力及随机练习

## 常见问题

### 绳模型和杆模型的最高点临界速度为什么不同？

绳子只能拉不能推，小球在最高点至少要让重力单独提供向心力，mg = mv²/R，所以 v_min = √(gR)，速度再小绳子就松了，小球会提前脱离圆周。轻杆既能拉也能推（支持），最高点速度可以小到 0，此时杆对球的支持力等于 mg。所以绳模型（以及在圆轨道内侧运动的小球）最低点至少要 √(5gR)，杆模型（以及圆管）最低点至少要 √(4gR)。

### 杆模型最高点杆对球的力什么时候是拉力、什么时候是支持力？

设杆对球的力向下为正，F + mg = mv²/R，F = mv²/R − mg。v > √(gR) 时 F > 0，杆拉球（圆管中是外壁压球）；v = √(gR) 时杆对球没有作用力；v < √(gR) 时 F < 0，杆对球是向上的支持力（圆管中是内壁托球）。工具里拖动最低点速度，可以看到最高点的力在 √(gR) 处改变方向。

### 为什么绳模型中最低点和最高点的拉力总是相差 6mg？

最低点 T₁ − mg = mv₁²/R，最高点 T₂ + mg = mv₂²/R，两式相减得 T₁ − T₂ = 2mg + m(v₁² − v₂²)/R；再由机械能守恒 v₁² − v₂² = 4gR，代入得 T₁ − T₂ = 6mg，与速度大小无关。工具中的 F–θ 图把 0° 和 180° 处的值标了出来，可以直接验证。

### 小球速度不够时会在哪里离开圆周？

若 2gR < v₀² < 5gR，小球能越过圆心所在的水平线，但在上半圆某处绳拉力减为零而离开圆周。设此处半径与竖直方向夹角为 β，满足 mg cosβ = mv²/R 和 ½mv₀² = ½mv² + mgR(1 + cosβ)，解得 cosβ = (v₀² − 2gR)/(3gR)。之后小球做斜抛运动，工具会画出这段抛物线。若 v₀² ≤ 2gR，小球只在圆心以下来回摆动，不会脱离。

### 转盘上两个物块用绳相连时，哪个先滑、临界角速度怎么求？

离轴越远所需向心力 mω²r 越大，所以远的物块先达到最大静摩擦，此后绳子开始有拉力。同侧相连时，远处物块 T + μm₂g = m₂ω²r₂，近处物块 μm₁g − T = m₁ω²r₁（摩擦指向圆心达到最大），相加得 ω² = μg(m₁ + m₂)/(m₁r₁ + m₂r₂)。绳穿过转轴两侧相连时，近处物块的摩擦会反向，临界条件是它背离圆心的摩擦达到最大，ω² = μg(m₁ + m₂)/(m₂r₂ − m₁r₁)。工具会画出两个摩擦力和绳拉力随 ω 变化的图。

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